Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции по дискретной математике.doc
Скачиваний:
433
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
3.12 Mб
Скачать

3. Векторы и прямые произведения.

Вектором (кортежем)в линейной алгебре и дискретной математике называют упорядоченный набор элементов. Это не есть определение вектора, поскольку целесообразнее это понятие считать основным.

Элементы, определяющие вектор, называются координатами или компонентами. Координаты нумеруются слева направо, а их число называется длиной или размерностью вектора. В отличие от элементов множества, координаты вектора могут совпадать. Координаты вектора заключаются в круглые скобки, например . Иногда скобки или запятые опускаются. Часто векторы длины 2 называются упорядоченными парами, длины 3 – тройками и т. д.

Определение.Два вектора равны, если они имеют равную длину и их соответствующие координаты равны. Иначе говоря, векторыиравны, еслии.

Определение.Прямым произведением множеств А и В (обозначение) называется множество всех упорядоченных пар, таких, что. В частности, если А=В, то обе координаты принадлежат множеству А, такое произведение обозначается А2. Аналогично, прямым произведением множеств называется множество всех векторовдлинып, таких, что.

Пример 4. Множество- это множество всех упорядоченных пар действительных чисел, геометрической интерпретацией которого служит декартова координатная плоскость.

Координатное представление точек плоскости было впервые предложено Р. Декартом и исторически является первым примером прямого произведения. Поэтому часто прямое произведение множеств называют декартовым произведением.

Пример 5.Даны множестваи. Тогдаесть множество обозначений клеток шахматной доски.

Вообще конечное множество, элементами которого являются какие-либо символы (буквы, цифры, знаки препинания, знаки операций и т. д.) называется алфавитом. Любые элементы множества в этом случае являютсясловамидлиныпв алфавите А. Например, десятичное целое число – это слово в алфавите цифр.

Определение.Проекцией векторана некоторую ось называется его компонента (координата) с соответствующим порядковым номером (обозначается прia). Например, проекция точки плоскости на 1-ю ось есть её абсцисса (первая координата).

Теорема 1.1. Мощность произведения конечных множествравна произведению мощностей этих множеств:.

Следствие. .

Эта простая теорема и её следствие впоследствии широко используются в комбинаторике.

Назад, в начало конспекта.

Лекция № 2. Соответствия и функции.

  1. Соответствия.

Определение.Соответствием между множествами А и В называется некоторое подмножествоGих декартова произведения:.

Если , то говорят, чтосоответствуетпри соответствии. При этом множество всех такихназывают областью определения соответствия, а множество соответствующих значенийназываются областью значений соответствия.

В принятых обозначениях, каждый элемент , соответствующий данному элементуназываетсяобразомпри соответствии, наоборот, элементназываетсяпрообразомэлементапри данном соответствии.

Соответствие называется полностью определённым, если, то есть каждый элемент множестваимеет хотя бы один образ во множестве; в противном случае соответствие называетсячастичным.

Соответствие называетсясюръективным, если, то есть если каждому элементу множествасоответствует хотя бы один прообраз во множестве.

Соответствие называетсяфункциональным (однозначным), если любому элементу множествасоответствует единственный элемент множества.

Соответствие называется инъективным, если оно является функциональным, и при этом каждый элемент множестваимеет не более одного прообраза.

Соответствие называется взаимнооднозначным (биективным), если любому элементу множествасоответствует единственный элемент множества, и наоборот. Можно сказать также, что соответствие является взаимнооднозначным, если оно является полностью определённым, сюръективным, функциональным, и при этом каждый элемент множестваимеет единственный прообраз.

Пример 1.

а) Англо-русский словарь устанавливает соответствие между множествами слов русского и английского языка. Оно не является функциональным, так как почти каждому русскому слову соответствует несколько английских переводов; оно, также, не является, как правило, полностью определённым соответствием, так как всегда существуют английские слова, не включённые в данный словарь. Таким образом, это частичное соответствие.

б) Соответствие между аргументами функции и значениями этой функции является функциональным. Однако оно не является взаимнооднозначным, так как каждому значению функциисоответствуют два прообразаи.

в) Соответствие между расположенными на шахматной доске фигурами и занимаемыми ими полями является взаимно однозначным.

г) Соответствие между телефонами города Вязьмы и их пятизначными номерами обладает, на первый взгляд, всеми свойствами взаимнооднозначного соответствия. Однако оно, например, не сюръективно, поскольку существуют пятизначные числа, не соответствующие никаким телефонам.

  1. Взаимнооднозначные соответствия и мощности множеств.

Если между двумя конечными множествами А и В существует взаимнооднозначное соответствие, то эти множества равномощны. Этот очевидный факт позволяет, во-первых, установить равенство мощности этих множеств, не вычисляя их. Во-вторых, часто можно вычислить мощность множества, установив его однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна, либо легко вычисляется.

Теорема 2.1.Если мощность конечного множестваАравна, то число всех подмножествАравно, то есть.

Множество всех подмножеств множества М называется булеаном и обозначается. Для конечных множеств выполняется:.

Определение.МножестваАиВназываются равномощными, если между их элементами можно установить взаимнооднозначное соответствие.

Заметим, что для конечных множеств это утверждение легко доказать. Для бесконечных множеств оно определят само понятие равномощности.

Определение.МножествоАназывается счётным, если оно равномощно множеству натуральных чисел:.

Очень упрощённо можно сказать, что данное бесконечное множество является счётным, если для его элементов можно установить нумерацию с помощью натуральных чисел.

Без доказательства примем ряд важных фактов:

  1. Любое бесконечное подмножество множества натуральных чисел является счётным.

  2. Множество является счётным.

  3. Множество рациональных чисел является счётным (является следствием из предыдущего утверждения).

  4. Объединение конечного числа счётных множеств является счётным.

  5. Объединение счётного числа конечных множеств является счётным.

  6. Объединение счётного числа счётных множеств является счётным.

Все эти утверждения, как можно видеть, позволяют достаточно успешно устанавливать факт, что данное множество является счётным. Однако сейчас будет показано, что не всякое бесконечное множества является счётным; существует множества большей мощности.

Теорема 2.2 (теорема Кантора).Множество всех действительных чисел из отрезкане является счётным.

Доказательство. Допустим, что множество является счётным и существует его нумерация. Поскольку любое действительное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби (периодической или непериодической), то проделаем это с числами данного множества. Расположим их в порядке этой нумерации:

Теперь рассмотрим любую бесконечную десятичную дробь вида , организованную таким образом, чтои так далее. Очевидно, что данная дробь не входит в рассматриваемую последовательность, поскольку от первого числа она отличается первой цифрой после запятой, от второго – второй цифрой и так далее. Следовательно, мы получили число из данного интервала, которое не пронумеровано и, таким образом, множествоне является счётным. Его мощность называетсяконтинуум, а множества такой мощности называютсяконтинуальными. Приведённый метод доказательства называетсядиагональным методом Кантора.

Следствие 1.Множество действительных чиселконтинуально.

Следствие 2.Множество всех подмножеств счётного множества континуально.

Как показывается в теории множеств (с помощью метода, аналогичного приведённому выше), для множества любой мощности множество всех его подмножеств (булеан) имеет более высокую мощность. Поэтому не существует множества максимальной мощности. Например, множество-универсум , описанное Кантором должно содержать все мыслимые множества, однако оно само содержится в множестве своих подмножеств в качестве элемента (парадокс Кантора). Получается, что множествоне является множеством максимальной мощности.

  1. Отображения и функции.

Функциейназывается любое функциональное соответствие между двумя множествами. Если функцияустанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функцияимеет вид(обозначение). Каждому элементуиз своей области определения функция ставит в соответствие единственный элементиз области значений. Это записывается в традиционной форме. Элементназываетсяаргументомфункции, элемент- её значением.

Полностью определённая функция называетсяотображениемА в В; образ множества А при отображении обозначается. Если при этом, то есть соответствие сюръективно, говорят, что имеет отображение А на В.

Если состоит из единственного элемента, тоназывается функцией-константой.

Отображение типа называется преобразованием множества А.

Пример 2.

а) Функция является отображением множества натуральных чисел в себя (инъективная функция). Эта же функция при всехявляется отображением множества целых чисел в множество рациональных чисел.

б) Функция является отображением множества целых чисел (кроме числа 0) на множество натуральных чисел. Причём в данном случае соответствие не является взаимно однозначным.

в) Функция является взаимнооднозначным отображением множества действительных чисел на себя.

г) Функция не полностью определена, если её тип, но полностью определена, если её типили.

Определение.Функция типаназываетсяместной функцией. В этом случае принято считать, что функция имеетаргументов:, где.

Например, сложение, умножение, вычитание и деление являются двухместными функциями на , то есть функциями типа.

Определение.Пусть дано соответствие. Если соответствиетаково, чтотогда и только тогда, когда, то соответствиеназывают обратным ки обозначают.

Определение.Если соответствие, обратное к функцииявляется функциональным, то оно называется функцией, обратной к.

Очевидно, что в обратном соответствии образы и прообразы меняются местами, поэтому для существования обратной функции требуется, чтобы каждый элемент из области значенияимел бы единственный прообраз. Это означает, что для функцииобратная функциясуществует тогда и только тогда, когдаявляется биективным соответствием между своей областью определения и областью значений.

Пример 3.Функцияимеет тип. Отрезокона взаимно однозначно отображает на отрезок. Поэтому для неё на отрезкесуществует обратная функция. Как известно, это.

Определение.Пусть даны функциии. Функцияназывается композицией функцийи(обозначается), если имеет место равенство:, где.

Композиция функций ипредставляет собой последовательное применение этих функций;применяется к результату.Часто говорят, что функцияполученаподстановкойв.

Для многоместных функций возможны различные варианты подстановокв, дающие функции различных типов. Особый интерес представляет случай, когда задано множество функций типа:. В этом случае возможны, во-первых, любые подстановки функций друг в друга, а во-вторых, любые переименования аргументов. Функция, полученная из данных функцийнекоторой подстановкой их друг в друга и переименованием аргументов, называется их суперпозицией.

Например, в математическом анализе вводится понятие элементарной функции, являющейся суперпозицией фиксированного (не зависящего от значения аргумента) числа арифметических операций, а также элементарных функций (и т. п.).

А.Н. Колмогоровым и В.И. Арнольдом доказано, что всякая непрерывная функция переменных представима в виде суперпозиции непрерывных функций двух переменных.

Замечание.Понятие функции широко используется в математическом анализе, более того, является в нём базовым понятием. В целом, подход к пониманию термина “функция” в матанализе несколько уже, чем в дискретной математике. Как правило, в нём рассматриваются так называемые вычислимыефункции. Функция называется вычислимой, если задана процедура, позволяющая по любому заданному значению аргумента найти значение функции.

Назад, в начало конспекта.