Лекция № 15. Маршруты, цепи и циклы.

1. Основные определения.

Пусть G(V, Е) – неориентированный граф. Рассмотрим конечную последовательность рёбертакую, что любые два соседние ребраимеют одну общую инцидентную вершину. Эту последовательность называетсямаршрутом графа.

Определение .Маршрутом (путем)для графаG(V, Е)называется последовательностьv₁e₁v₂e₂v₃…e_kv_k+1. Маршрут называетсязамкнутым, если его начальная и конечная точки совпадают. Число ребер (дуг) маршрута (пути) графа называетсядлиной маршрута (пути).

Любой отрезок конечного или бесконечного маршрута вида, гдетакже является маршрутом и называется участком маршрута.

Заметим, что одно и то же ребро может встречаться не один раз. Вершина , инцидентная первому ребру маршрутаи не инцидентная следующему ребру, называется началом маршрута. Причём если эти рёбра кратные, то необходимо указать, какая именно из двух инцидентных им вершин является началом маршрута. Аналогично определяется конец маршрута. Вершины, инцидентные рёбрам маршрута, за исключением первой и последней, называютсяпромежуточными. Причём, поскольку одной вершине может быть инцидентно несколько рёбер, начало и конец маршрута могут быть в то же время промежуточными точками. Таков, например, маршрутна рисунке 1, где вершина 1 является началом маршрута и, в то же время, промежуточной точкой.

Рисунок 1.

Рассмотрим случай, когда , то есть начало и конец маршрута совпадают. Отметим, что в этом случае маршрут может быть только конечным..

Определение.Незамкнутый маршрут (путь) называетсяцепью. Цепь, в которой все вершины попарно различны, называетсяпростой цепью.

В простой цепи любая вершина маршрута инцидентна не более чем двум его рёбрам.

Определение.Замкнутый маршрут (путь) называетсяциклическим маршрутом илициклом (контуром). Цикл, в котором все вершины попарно различны, называетсяпростым циклом.

Иначе говоря, простой цикл – это циклический маршрут, в котором любые два соседние ребра имеют одну инцидентную вершину. Последовательности ,ипредставляют один и тот же цикл (рисунок 2). Часто считается, что можно менять порядок рёбер цикла на противоположный, то есть, например, последовательностьпредставляет тот же цикл.

Рисунок 2.

Участок цепи или цикла является цепью; соответственно, участок простой цепи или простого цикла является простой цепью.

2. Связные компоненты графов.

Определение.Вершиныиназываются связанными, если существует маршрутс началоми концом. Наоборот, маршрутс началоми концомназывается связывающим эти вершины.

Очевидно, что при существовании маршрута должен также существовать маршрутс началоми концом, в котором рёбра идут в противоположном порядке. Можно показать, что любые две связанные маршрутомвершины можно связать маршрутом, являющимся простой цепью, состоящей из участков маршрута.

Если вершина связана с какой-то вершиноймаршрутом, то она, естественно связана с собой маршрутом, состоящим из маршрутови. Более того, принято считать, что изолированная вершина также связана сама с собой, то есть отношение связности, заданное на множестве вершин данного графарефлексивно. Оно также симметрично и транзитивно, а поэтому является отношением эквивалентности. Тогда оно порождает разбиение множествана непересекающиеся подмножества такие, что вершины одного подмножествасвязаны между собой и не связаны с вершинами другого подмножества. Это, в свою очередь, означает, что граф может быть разложен в прямую сумму подграфов:.

Определение. Граф называется связным, если все его вершины связаны между собой.

Поэтому все подграфы связного графа связны и называются связными компонентами графа.

3. Расстояния. Диаметр, радиус и центр графа. Протяжённости.

Пусть связный неориентированный граф,любые две его вершины. Тогда существует связывающая их простая цепь. Если количество этих рёбер- не минимальное из возможных, существует цепь, причём.

Штрихи в обозначении используются, потому что не обязательно рёбра под одинаковыми индексами будут совпадать.

Если же и не минимально, то найдётся связывающая эти вершины цепьс ещё меньшим количеством рёбер и так далее. Однако этот процесс не бесконечен, его можно повторить не более, чемраз. Тогда существует цепьсвязывающая вершиныис минимальным количеством рёбер.

Определение.Минимальная длина простой цепи с началом в вершинеи концом в вершиненазываетсярасстояниеммежду этими вершинами. Обозначается:.

Расстояние между любой вершиной и ею самой равно 0. Ему соответствует нулевой маршрут, не содержащий рёбер. Для любой пары различных вершинивыполняется, так как связывающая их цепь состоит хотя бы из одного ребра. Вообще, расстояниеудовлетворяет аксиомам метрики:

1) , причёмтогда и только тогда, когда;

2) .

Также для расстояния выполняется неравенство треугольника: для любых трёх вершинвыполняется неравенство:.

Это позволяет, для простоты рассуждений, измерять расстояние между вершинами по числу рёбер простой цепи, соединяющей их (тем более, что геометрические характеристики рёбер мы не учитываем)..

Определение.Диаметромконечного графаназывается наибольшее из расстояний между парой его вершин:.

Кратчайшие простые цепи, связывающие две вершины графа с максимальным расстоянием между ними, называются диаметральными простыми цепями.

Пусть - рассматриваемая вершина данного графа, апроизвольная вершина графа.Максимальным удалениемв графеот фиксированной вершиныназывается величина.

Определение. Вершинаназываетсяцентром графа, если максимальное удаление от неё до остальных вершин графа принимает минимальное значение:.

Максимальное удаление от центра графа называется его радиусоми обозначается, а любая кратчайшая цепь от центра до наиболее удаленной от него вершины -радиальной цепью.

Замечание.Граф может иметь более одного центра. Например, в полном неориентированном графе, в котором две любые различные вершины соединены ребром, радиус равен единице, а любая вершина является центром.

Пусть - конечный, связный граф, число рёбер которого равно. Из соображений, изложенных при изучении комбинаторики, можно сделать очевидный вывод. Количество последовательностей рёбер этого графа конечно и равно. Следовательно, конечно и количество простых цепей, в которых рёбра не повторяются.

Определение.Протяжённостьюназывается максимальная из длин связывающих эти вершины простых цепей.

4. Эйлеровы графы.

Определение.Цепь (цикл) в графеGназываетсяЭйлеровым, если она проходит по одному разу через каждое ребро графаG.

Теорема 15.1.Для того, чтобы связный граф G обладал Эйлеровым циклом, необходимо и достаточно, чтобы степени его вершин были четными.

Рисунок 3

а) б)

Задача, которая привела к появлению понятия Эйлерова цикла, широко известна в истории математики. Это так называемая задача о кенигсбергских мостах. Расположение семи мостов в городе Кенигсберге в начале XVIII века приведено на рисунке 3а. Требуется обойти город, пройдя через каждый мост ровно один раз, и вернуться в исходную точку.

Можно представить описанную задачу следующим образом. Имеется связный неориентированный граф с четырьмя вершинами и семью рёбрами. Требуется выяснить, существует ли простой цикл, позволяющий обойти данный граф по маршруту, включающему в себя по одному разу каждое ребро графа.

Именно решение данной задачи привело Л. Эйлера к доказательству приведённой выше теоремы. Кстати, согласно ей, данная задача неразрешима, поскольку степени всех вершин графа нечётны.

Теорема 15.2.Для того, чтобы связный граф G обладал Эйлеровой цепью, необходимо и достаточно, чтобы он имел ровно две вершины нечетной степени.

По сути дела, теоремы 15.1 и 15.2 описывают условия, при которых можно построить геометрическую фигуру “не отрывая карандаша от бумаги”, одной сплошной линией. Только в первом случае начало и конец этой линии будут совпадать, а во втором случае они будут различны.

Определение.Цикл (цепь) в графеGназываетсяГамильтоновым, если он проходит через каждую вершину графаG ровно один раз.

Пример 1.

а)

- в графе есть и Эйлеров и Гамильтонов циклы

б)

- в графе есть Эйлеров цикл, но нет Гамильтонова

в)

- в графе есть гамильтонов, но нет Эйлерова цикла

г)

- в графе нет ни Эйлерова, ни Гамильтонова цикла

Граф Gназываетсяполным, если каждая его вершина является смежной со всеми остальными вершинами. В полном графе всегда существуют гамильтоновы циклы.

Также необходимым условием существования гамильтонова цикла является связность графа.

Назад, в начало конспекта.