12. Трм о повторном интегрир-нии для двойного интеграла.

Трм.1: О сведении крат. интеграла к повторным. Пусть XY=IR^n+m, XR^m YRⁿ. Тогда если ф-ция :(XYR^m+n)→R, , то интегралы , , сущ-ют и равны между собой. Док-во: ,  – огранич. на XY=I,  . Покажем, что . Др. рав-во: – док-ся аналог-но. Рас-рим (P,) = . Пром-ки X_i и Y_j получились при разб-ии X и Y.   X_iY_j можно выбрать произвольно,  пусть рав-ся декартову произв-нию и . Тогда (P,) = . Т.к. V(X_iY_j) = V(X_i)V(Y_j) и используя св-ва ТВГ, ТНГ, ВСД и НСД, ВИР и НИР, мы получим следующую оценку: ≤ ≤ ≤ =. Минуя промежуточные преобразования, получим: ≤. Переходя в этом нерав-ве к пределу при (P)→0 получаем, что крайние члены стремятся к . След-но, , ■

Сл-ие1: Если IRⁿ, I = I₁I₂…I_n, I_i = [a_i,b_i], , то при по трм мы имеем: В част-ти: (x,y):(IR²)→R и (x,y)(I), I = {(x,y)R² | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}, то = .

Сл-ие2: DR^n–1, D – огранич. обл-ть. . Тогда если , то . В част-ти: D = [a,b], E = {(x,y)R² | x[a,b], ₁(x) ≤ y ≤ ₂(x)}. (x,y)(E),  – переставить нельзя!

13. Трм о повторном интегрир-нии для крат. Интеграла.

Трм.1: О сведении крат. интеграла к повторным. Пусть XY=IR^n+m, XR^m YRⁿ. Тогда если ф-ция :(XYR^m+n)→R, , то интегралы , , сущ-ют и равны между собой. Док-во: ,  – огранич. на XY=I,  . Покажем, что . Др. рав-во: – док-ся аналог-но. Рас-рим (P,) = . Пром-ки X_i и Y_j получились при разб-ии X и Y.   X_iY_j можно выбрать произвольно,  пусть рав-ся декартову произв-нию и . Тогда (P,) = . Т.к. V(X_iY_j) = V(X_i)V(Y_j) и используя св-ва ТВГ, ТНГ, ВСД и НСД, ВИР и НИР, мы получим следующую оценку: ≤ ≤ ≤ =. Минуя промежуточные преобразования, получим: ≤. Переходя в этом нерав-ве к пределу при (P)→0 получаем, что крайние члены стремятся к . След-но, , ■

Сл-ие1: Если IRⁿ, I = I₁I₂…I_n, I_i = [a_i,b_i], , то при по трм мы имеем: В част-ти: (x,y):(IR²)→R и (x,y)(I), I = {(x,y)R² | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}, то = .

Сл-ие2: DR^n–1, D – огранич. обл-ть. . Тогда если , то . В част-ти: D = [a,b], E = {(x,y)R² | x[a,b], ₁(x) ≤ y ≤ ₂(x)}. (x,y)(E),  – переставить нельзя!

14. Замена переменных в двойном интеграле. Случай полярных координат.

Трм.1: О замене переменных в крат. интегралах. Пусть E и E* – замкнут., огранич., допустимые мно-ва в R^k и , . Тогда если (E*R^k)→R, , то справ-во: = , где , (ER^k)→R, а якобиан:.

Сл-ие1: В случае 2-ого интеграла: ;  и . В случае полярных координат: ;  ,  = .

15. Замена переменных в 3-ом интеграле. Случай сферич. и цилиндр. координат.

Трм.1: О замене переменных в крат. интегралах. Пусть E и E* – замкнут., огранич., допустимые мно-ва в R^k и , . Тогда если (E*R^k)→R, , то справ-во: = , где , (ER^k)→R, а якобиан:.

Сл-ие2: В случае 3-ого интеграла:  = , где = . В частности при переходе к цилиндр. сис-ме координат:   = . Сферич. координаты:   .

2