1. Пром-к в про-ве R^k (опр-ние, понятие меры пром-ка). Трм о св-вах меры. Опр-ние разб-ия пром-ка и диаметра разб-ия. Понятие измельч. разб-ия.

О.1: Пусть , , – векторы из R^k. Тогда мно-во I = = {| a_i ≤ x_i ≤ b_i , } – наз. пром-ком или сегментом, или коорд. пара-педом в R^k.

О.2: Мерой (или объёмом) пром-ка наз. .

Трм.1: Св-ва меры пром-ка. Для меры пром-ка справ-вы: 1) Однородность: ( ≥ 0): ; 2) Аддитивность: Если I₁ и I₂ – некот-ые пром-ки без общ. внутр. тчк и такие, что =I₁I₂, то =V(I₁)+V(I₂);

3) Монотонность. Если I₁I₂, то V(I₁) ≤ V(I₂). Док-во: 1) Пусть  ≥ 0, тогда = . 2) Пусть разбит гиперплос-тью x_j = c на 2-а пром-ка I₁ и I₂. I₁ = {| a_i ≤ x_i ≤ b_i , если i ≠ j, a_j ≤ x_j ≤ c}, I₂ = {| a_i ≤ x_i ≤ b_i , если i ≠ j, c ≤ x_j ≤ b_j}, . =I₁I₂; V(I₁)+V(I₂) = (c – a_j) + (b_j – c) = = .

3) ,  (): c_i ≤ a_i ≤ b_i ≤ d_i,  ≤ = , ■

Сл-ие1: Если I₁, I₂,…, I_n – пром-ки без общ. внутр. тчк и , то .

Сл-ие2: Если покрыт конечной сис-мой пром-ков I₁, I₂,…, I_n, т.е. , то ≤ .

О.3: Мно-во плос-тей P = {| j_i = 0,1,2,…,m_i ()}, удовлетворяющ. усл-ию a_i = … = b_i (), m_i ≥ 1 – целые числа и , наз. разб-ем на n пром-ков I₁, I₂,…, I_n. .

О.4: Для  разб-ия P пром-ка на пром-ки I_j, , положим (P) = и наз. это (P) диаметром разб-ия P, а d(I_j) – диаметром пром-ка I_j.

О.5: Разб-ие P* пром-ка , полученное добавлением к разб-ию P плос-тей x_i = c_i, где a_i < c_i < b_i () наз. измельч. разб-ия P. PP*.

О.6: Разб-ие P* наз. общ. измельч. двух разб-ний P₁ и P₂ пром-ка , если P* = P₁P₂.

2. Опр-ние интеграль. суммы и ее предела при стремлении к нулю диаметра разб-ия. Опр-ние ИР по пром-ку.

О.1: Пусть :(IR^k)→R – огранич. ф-ция k переменных x₁, x₂,… ,x_k. И пусть P – некот-ое разб-ие пром-ка I на пром-ки I_i, . Выберем тчк () и составим след. сумму: , кот-ую будем наз. интеграль. суммой, сост-ой от-но пром-ка и произволь. выбранных тчк () для ф-ции .

О.2: По опр-нию будем считать, что AR – предел интеграль. суммы (P,) при (P)→0 и , если (>0)(()>0)(P, 0<(P)<())(): |(P,)–A|<  .

О.3: Если , то его знач-ие наз. ИР от ф-ции на пром-ке и обозначают: == ; при этом ф-ция интегрир. по Риману на : , .

3. Опр-ние сумм Дарбу. Трм о св-вах сумм Дарбу.

О.1: Пусть :(IR^k)→R, тогда кажд. разб-ию P пром-ка I на I₁, I₂,… , I_n можно поставить , , . Составим ВСД и НСД: , .

Трм.1: Св-ва сумм Дарбу. 1) P: ; 2) Если PP*, то ; 3) Для люб. 2-х разб-ий P₁ и P₂ справ-во: ; 4) Для P пром-ка I вып-ся: ; 5) Для P пром-ка I вып-ся: и , . Док-во аналог-но док-ву для ф-ций 1-ого переменного.

4. Опр-ние НИР и ВИР по пром-ку. Трм о св-вах НИР и ВИР по пром-ку.

О.1: Пусть :(IR^k)→R – огранич. на пром-ке I. Тогда для  разб-ия P пром-ка I рас-рим ВСД и НСД. По опр-ию будем считать ТВГ мно-ва НСД по всем разб-ям P НИР по пром-ку: , а ТНГ мно-ва ВСД будем считать ВИР по пром-ку: .

Трм.1: Св-ва ВИР и НИР по пром-ку. Пусть :(IR^k)→R – огранич. на I. Тогда для ВИР и НИР справ-вы св-ва: 1) ВИР и НИР от ф-ции сущ-ют на I; 2) НИР не превосходит ВИР: ; 3) и . Док-во: 1) Т.к. – огранич. на I, то (m, MR)(I): m≤≤M. Пусть теперь P – люб. разб-ие I на пром-ки I₁, I₂,… I_n. Тогда в силу m ≤ m_i ≤ M_i ≤ M (), оценим ВСД и НСД: ≥ и ≤, мно-ва ВСД и НСД по всем разб-ям P огранич., и . Значит, ВИР и НИР сущ-ют. 2) Т.к. для люб. 2-х разб-ий P₁ и P₂ по св-ву сумм Дарбу: . Тогда если P₂ зафикс-ть, а P₁ менять, то . Теперь если будем менять P₂, то , . 3) Без док-ва.

5. Критерий Дарбу о существовании интеграла Римана по промежутку.

Трм.1: Пусть – пром-к в про-ве R^k. И ф-ция :(IR^k)→R – огранич. на I. Тогда для того, чтобы была интегрир. на I н. и д., чтобы ВИР и НИР совпадали: (). Док-во: 1) Н-ть. Пусть ,  ,  (  > 0 ) ( () > 0 ) ( P, 0<(P)<()) (, ): . Т.е.: < (P,) < . Но по св-ву сумм Дарбу: <<,  и ,  . 2) Дос-ть. Пусть . Тогда из нер-ва: и св-ва НИР и ВИР: и , получаем, что крайние члены в этом нер-ве стремятся к одному и тому же пределу, равному . Тогда по трм о 2-х конвоирующих имеем: ,  , ■

6. Опр-ие мно-ва меры 0 в про-ве R^k . Трм о св-вах мно-в меры 0.

О.1: Мно-во ER^k наз. мно-вом меры 0, если (>0)( покрытие мно-ва E конеч. или счёт. сис-мой пром-ков I₁, I₂, …): .

Трм.1: Св-ва мно-в меры 0. Для мно-в меры 0 в про-ве R^k справ-вы св-ва:

1) Объединение конеч. или счёт. числа мно-в меры 0 – мно-во меры 0;

2) Люб. подмно-во мно-ва меры 0 есть мно-во меры 0. Док-во: 1) Пусть , E_n – мно-ва меры 0. Тогда >0 построим покрытие для кажд. E_n, обозначенное , удовлет-щее: . Тогда все такие пром-ки образуют не более, чем счёт. мно-во, а их объединение не более, чем счетное. Тогда ,  E – мно-во меры 0.

2) Очевидно, ■

7. Опр-ния допустимого мно-ва и характеристич. ф-ции. Опр-ние ИР по мно-ву. Трм об инвариантности опр-ния ИР по мно-ву.

О.1: Мно-во ER^k наз. допустимым мно-вом, если оно огранич. в R^k и его граница E – мно-во меры 0.

О.2: Ф-цию – будем наз. характеристич. ф-цией допустимого мно-ва E.

О.4: Пусть ф-ция :(ER^k)→R – огранич. на допустимом мно-ве E. Тогда интегралом от ф-ции по мно-ву E будем наз.: , где I  E – произволь. пар-пед. Если этот интеграл сущ-ет, то ф-ция интегрир. по Риману на мно-ве E, .

Трм.1: Инвариантность опр-ния ИР по мно-ву. Пусть ф-ция :(ER^k)→R – огранич. Тогда, если I₁ и I₂ – пром-ки, содержащие мно-во E, то из сущ-ния одного из интегралов или следует сущ-ние др. интеграла и их рав-во. Док-во: Пусть I = I₁I₂. По усл-ию трм E  I. Точки разрыва ф-ции лежат одновременно в I, I₁, I₂. Поэтому по критерию Лебега интегралы от этой ф-ции по пром-кам I, I₁, I₂ сущ-ют или не сущ-ют одновременно. Пусть согласно усл-ию трм сущ-ют интегралы по I₁ и I₂. Рас-рим раб-ия P₁ и P₂ соотв. пром-ков I₁ и I₂. Причём в пром-ке I они совпадают. И выберем точки в интеграль. суммах для этих пром-ков так, чтобы (P₁,_E)= (P₂,_E). Переходя к пределу при (P₁)→0 и (P₂)→0 получаем, что =, ■

8. Критерий Лебега интегрир-ти по мно-ву. Опр-ние меры Жордана допустимого мно-ва. Внутр. И внеш. Меры Жордана допустимого мно-ва.

Трм.1: Критерий Лебега интегрир-ти на мно-ве. Для того, чтобы ф-ция :(ER^k)→R (ограниченная) была интегрир. по Риману на допустимом мно-ве E н. и д. , чтобы она была непрерывна почти всюду на мно-ве E. Док-во: пусть I –пром-к в R^k, содержащий мно-во E, тогда может иметь точки разрыва как на самом мно-ве E, так и на границе E, кот-ая явл. мно-вом меры 0,  эта ф-ция имеет мно-во точек разрыва меры 0. Тогда из опр-ния интеграла по мно-ву и т.к. эта ф-ция непрерыв. почти всюду на E и на I (критерий Лебега интегрир-ти по пром-ку) следует интегрир-ть на мно-ве.

О.1: Мерой Жордана допустимого мно-ва ER^k наз. , если этот интеграл сущ-ет. При этом мно-во E наз. измеримым по Жордану.

О.2: Пусть ER² –односвяз. обл-ть с границей конеч. длины,  E – допустимое мно-во,  оно измеримо по Жордану: . Составим для ВСД и НСД: и . Тогда – внутр. мера обл-ти E; – внеш. мера обл-ти E.

9. Трм о св-вах ир, выражаемых рав-вами.

Трм.1: Св-ва ИР, выражаемые рав-вами. 1) Интеграл от 0. ф-ции. Если :R^k→R – интегрир. на некот-ом допустимом мно-ве ER^k и почти всюду на E. Тогда . 2) Линейность. Если ER^k –допустимое мно-во и , , тогда (,R): (E) и имеет место рав-во: = . 3) Аддитивность. Если E₁R^k и E₂R^k –допустимые мно-ва и ф-ция и m(E₁E₂)=0, то . Док-во: 1) Пусть I  E и P – разб-ие I на I₁, I₂,… , I_n. Тогда всегда можно выбрать точки , такие что (P,_E) = , т.к. почти всюду на E. А т.к. сущ-ет предел интеграль. сумм независимо от выбора , то . Но: . 2) Пусть IE. Из опр-ния ИР по пром-ку: = + .

3) , то в силу критерия Лебега, имеет на E₁E₂ мно-во точек разрыва меры 0,  на люб. подмно-ве мно-ва E₁E₂,  , , . Т.к. , то . , т.к. подынтегральная ф-ция = 0 всюду за искл. мно-ва меры 0: E₁E₂. Тогда: , ■

11. Трм о среднем для крат. интеграла.

Трм.1: Пусть заданы ф-ции :(ER^k)→R и g:(ER^k)→R, где E – допустим. мно-во. Тогда 1) если и для ; m ≤ ≤ M для , то ([m;M]): . 2) Если E – связ. допустим. мно-во и ф-ция , то . Док-во: 1) ,  , т.к. мно-во точек разрыва имеет меру 0. Тогда умножая обе части нер-ва на , имеем: ,  . Пусть а) . Тогда в качестве  можно взять люб. действ. число из [m;M]. б) , тогда , где .

2) Т.к. – непрерыв. на допустим. мно-ве, то по критерию Лебега: и в силу I , II трм Вейерштрасса: , , , . Положим , тогда = , где m ≤  ≤ M  ,  по II трм Коши: . Тогда , ■

10.Трм о св-вах ИР, выражаемых нер-вами.

Трм.1: Св-ва ИР, выражаемые нер-вами. Пусть ER^k – допустим. мно-во. Тогда: 1) Если , то и . 2) Если и (E): , то . 3) Если и (E): , то . Док-во: 1) Т.к. , то по критерию Лебега – непрерыв. почти всюду на E,  – непрерыв. почти всюду на E,  . Пусть IE, тогда оценим: = ≤ = . 2) I  E и P – люб. разб-ие пром-ка I. Тогда (P,_E)≥0. Перейдём к пределу: ,  . 3) Рас-рим ф-цию , . Для неё применим предыдущ. док-во и получим требуемое, ■