4.2.3. Конечно-разностная аппроксимация для граничных узлов
Рассматриваемый метод позволяет решать задачи для неоднородных сред и со сложной геометрией области. В частности, узлы сетки могут располагаться на границе раздела сред, на краях, в различных углах и т.д. (например, рис. 4.4). Конечно-разностные уравнения для таких узлов отличаются от внутренних.
Узлы
на границе раздела сред встречаются
при исследовании полосковых и
микрополосковых линий передачи, частично
заполненных волноводов и т.д. На рис.
4.4а показана граница раздела двух сред
с параметрами
и
.
Получим конечно-разностное уравнение
для центрального узла с потенциалом
.
Полагая, что на границе отсутствуют
электрические заряды, воспользуемся
уравнением (2.2г) в Теме II,
применив его к пунктирной ячейке (задача
двумерная) на рис. 4.4а, ограниченной
контуром C
, (4.24)
–
нормаль к контуру C; при этом мы
воспользовались формулой (4.2):
.
Формулу (4.24) можно переписать в виде
. (4.25)
Поток
(4.25) вычисляется по четырём участкам.
Потоки
и
соответственно равны
. (4.26)
Аналогично
потоки
и
соответственно равны
. (4.27)
|
|
а) |
б) |
|
|
в) |
г) |
Рис. 4.4. Конечно-разностная аппроксимация для граничных узлов.
Соответственно полный поток (4.25) равен
. (4.28)
Перепишем (4.28) в форме основного разностного уравнения
. (4.29)
Уравнение
(4.39) является основным уравнением
центрально-разностной аппроксимации
при наличии узлов, расположенных на
границе раздела сред. При
уравнение (4.29) переходит для уравнения
Лапласа в (4.22). Заметим, что запись (4.39)
очевидным образом следует из (4.22), если
брать среднее значение диэлектрических
проницаемостей сред
для узлов
,
расположенных на границе раздела.
Задания
Задание 4.4
Вычислить
методом конечных разностей и нарисовать
распределение скалярного потенциала
электростатического поля u
между двумя бесконечными плоскостями
при заданных значениях
на них. Электрические заряды в пространстве
между указанными поверхностями
отсутствуют. Сравнить с аналитическим
решением.
a.
=0
В,
=3
В, шаг дискретизации по оси x
= 0.25 м;
б.
=0
В,
=3,
шаг дискретизации по оси x
= 0.2 м;
в.
=0
В,
=2
В, шаг дискретизации по оси x
= 0.5 м;
г. =0 В, =2 В, шаг дискретизации по оси x = 0.25 м;
д. =0 В, =1 В, шаг дискретизации по оси x = 0.25 м;
е. =0 В, =1 В, шаг дискретизации по оси x = 0.2 м;
ж.
=0
В,
=4
В, шаг дискретизации по оси x
= 0.25 м;
Решение (стр.204, пример 4.9)
Краевая
задача формулируется как одномерная
задача Дирихле (4.9), которая дискретизируется
в форме ячеек, содержащих конечное число
узлов (три в данном случае), так, что
уравнение (4.22) может быть записано для
любого узла
анализируемой области как
. (1)
Поскольку
,
то, используя (1), ориентируясь на рис.
4.3 и выбрав шаг дискретизации
для узлов
,
последовательно имеем представление
, (2)
которое
удобно записать в виде системы относительно
(3)
представимая в следующей матричной форме
. (4)
Используя
MATLAB, решаем (4), что с учётом
граничных условий даёт
,
и строим распределение скалярного
потенциала электростатического поля
между поверхностями. Заметим, что матрица
в (4) является разряженной с доминантной
главной диагональю.
Далее по формуле (4.2) теорииможно найти и вектор напряжённости электростатического поля.
clear;
clf;
sz=3;
h=1/(sz+1);
x=0:h:1;
% Полученные матрицы для решения системы уравнений
a = [1, -0.5, 0;
0.5, -1, 0.5;
0, -0.5, 1];
b = [0, 0, 1.5]';
v = a \ b;
% По краям матрицы добавляем данные из граничных условий
v_final = [0, v', 3];
plot(x,v_final,'o-'); grid;
xlabel('x');
ylabel('V');
Задание 4.5
Найти
методом конечных разностей и нарисовать
распределение скалярного потенциала
электростатического поля между двумя
поверхностями, если
.
Электрические заряды в пространстве
между указанными поверхностями
распределены равномерно с плотностью
.
Сравнить с аналитическим решением.
a.
=0,
=3,
шаг дискретизации по оси x
= 0.25,
;
б. =0, =3, шаг дискретизации по оси x = 0.2, ;
в. =0, =2, шаг дискретизации по оси x = 0.5, ;
г. =0, =2, шаг дискретизации по оси x = 0.25, ;
д. =0, =1, шаг дискретизации по оси x = 0.25, ;
е. =0, =1, шаг дискретизации по оси x = 0.2, ;
ж.
=0,
=3,
шаг дискретизации по оси x
= 0.25,
;
з. =0, =3, шаг дискретизации по оси x = 0.2, ;
и. =0, =2, шаг дискретизации по оси x = 0.5, ;
к. =0, =2, шаг дискретизации по оси x = 0.25, ;
л. =0, =1, шаг дискретизации по оси x = 0.25, ;
м. =0, =1, шаг дискретизации по оси x = 0.2, ;
Решение (стр.205, пример 4.10)
Краевая задача формулируется как одномерная неоднородная задача Дирихле (4.9), которая дискретизируется в форме ячеек, содержащих конечное число узлов (три в данном случае). Уравнение (4.23) может быть записано для любого узла анализируемой области как
. (1)
Используя
(1), ориентируясь на рис. 4.3, выбрав шаг
дискретизации
для узлов
при
последовательно имеем представление
(2)
которое удобно записать в виде системы относительно
(3)
представимая в следующей матричной форме
. (4)
Используя
MATLAB, решаем (4), что с учётом
граничных условий даёт
,
и строим распределение скалярного
потенциала электростатического поля
между поверхностями. Заметим, что матрица
в (4) является разряженной с доминантной
главной диагональю. Далее по формуле
(4.2) можно найти и вектор
напряжённости
электростатического поля.
clear;
clf;
h=0.25;
x=0:h:1;
% Полученные матрицы для решения системы уравнений
a = [1, -0.5, 0;
-0.5, 1, -0.5;
0, -0.5, 1];
b = [-0.125, -0.125, 1.375]';
v = a \ b;
% По краям матрицы добавляем данные из граничных условий
v_final = [0, v', 3];
plot(x,v_final,'o-'); grid;
xlabel('x');
ylabel('V');
Задание 4.6
Найти методом конечных разностей вычислить и нарисовать распределение скалярного потенциала электростатического поля u между двумя бесконечными плоскостями при заданных значениях на них. Электрические заряды в пространстве между указанными поверхностями отсутствуют. Сравнить с аналитическим решением.
Вычислить
методом конечных разностей и нарисовать
распределение скалярного потенциала
электростатического поля u
в бесконечной металлической трубе
(двумерная задача), изолированной на
углах рис. 4.5. На поверхностях S1
и S2 заданы uS1
= 0 и uS2
= V0. Внутри трубы
вводится прямоугольная сетка с шагом
:
14 фиксированных узлов на поверхности
и 9 свободных узлов внутри.
Использовать MATLAB для решения системы уравнений.
а. uS1 = 0 В, uS2 = V0 = 1 В
б. uS1 = 0 В, uS2 = V0 = 2 В
в. uS1 = 0 В, uS2 = V0 = 3 В
г. uS1 = 0 В, uS2 = V0 = 4 В
д. uS1 = 0 В, uS2 = V0 = 5 В
е. uS1 = 0 В, uS2 = V0 = 6 В
ж. uS1 = 0 В, uS2 = V0 = 7 В
Рис. Геометрия задачи.
Решение
Внутри
трубы вводится прямоугольная сетка с
шагом
:
14 фиксированных узлов на поверхности
(потенциал их задан) и 9 свободных узлов
внутри. Поскольку
внутри трубы, то распределение потенциала
находится из решения двумерной однородной
задача Дирихле (4.9), и последующим
использованием формулы (4.2) для нахождения
электростатического поля. Используем
разностную форму (4.23) для узлов и значений
потенциала на границе в соответствии
с рис. 4.3, 4.5 и учтём, что из-за симметрии
области относительно оси y
и
.
В результате получаем систему
(1)
которую можно представить в следующей матричной форме
. (2)
Решив
(3) найдём соответствующие значения
потенциалов
,
а по формуле (4.2) и вектор напряжённости
электростатического поля. Заметим, что
матрица в (2) является разряженной с
доминантной главной диагональю.
clear;
a = [4, -1, -1, 0, 0, 0;
-2, 4, 0, -1, 0, 0;
-1, 0, 4, -1, -1, 0;
0, -1, -2, 4, 0, -1;
0, 0, -1, 0, 4, -1;
0, 0, 0, -1, -2, 4];
v = [1, 1, 0, 0, 0, 0]';
u = a \ v
Результат:
u =
0.4286
0.5268
0.1875
0.2500
0.0714
0.0982