Тема 4. Граничные задачи, уравнения и методы

4.1. К классификации электромагнитных явлений

Уравнения (2.1), (2.2) в Теме 2 позволяют классифицировать электромагнитные процессы и получить ряд соотношений, используемых в следующих главах для иллюстрации и тестирования численных методов на простейших примерах.

4.1.1. Уравнения электростатики. Самыми простыми являются неизменные во времени поля при отсутствии токов, т.е. , а уравнения, для электрического поля, называемого электростатическим, принимают вид

. (4.1)

Используя тождество , вводят понятие скалярного потенциала электростатического поля

, (4.2)

и, подставив во второе уравнение (4.1), получаем в случае однородной среды для скалярного потенциала уравнение Пуассона

. (4.3)

Общий вид решения этого уравнения Пуассона для неограниченной области имеет вид

, (4.4)

где – радиус-вектор точек наблюдения и интегрирования соответственно. Для тех областей, где заряд отсутствует ( ) (4.3) переходит в уравнение Лапласа

. (4.5)

При наличии границ раздела сред (рис.4.1) выполняются следующие граничные условия:

(4.6)

где индексами 1 и 2 отмечены значения векторов поля в первой и второй средах соответственно; – единичный вектор нормали к поверхности, направленный в первую среду; – поверхностная плотность электрических зарядов.

Рис. 4.1. Граничные условия.

Граничные условия (4.6) с учётом (1.26) для потенциалов в первой второй сред принимают вид

. (4.7)

Если вторая среда является идеальным проводником, то вектора поля во второй среде равны нулю. Граничные условия для электростатического потенциала на поверхности S проводника имеют вид

, (4.8)

где нормаль внешняя по отношению к проводящей среде. При наличии совокупности проводящих тел распределение на каждом из них неизвестно и краевые задачи формулируются как задача Дирихле

(4.9)

или как задача Неймана, в которой вместо граничных условий для потенциалов задаются граничные условия типа (4.8).

Для линейных сред в силу линейности уравнений электростатики вводится понятие ёмкости C [Фарада] системы проводников. В частном случае двух проводников с зарядом q и потенциалами и

. (4.10)

Энергия электростатического поля определяется общим соотношением [12]

, (4.11)

или в более удобной форме для локального распределения зарядов

. (4.12)

Задания

Задание 4.1

Найти и нарисовать распределение скалярного потенциала электростатического поля между двумя концентрическими цилиндрами (в предположении бесконечно протяженной структуры). Граничные условия: .

а. a = 0.01 м, b = 0.04 м, V0 = 6 В.

б. a = 0.02 м, b = 0.04 м, V0 = 6 В.

в. a = 0.02 м, b = 0.08 м, V0 = 6 В.

г. a = 0.01 м, b = 0.04 м, V0 = 9 В.

д. a = 0.02 м, b = 0.04 м, V0 = 9 В.

е. a = 0.02 м, b = 0.08 м, V0 = 9 В.

ж. a = 0.01 м, b = 0.04 м, V0 = 12 В.

з. a = 0.02 м, b = 0.04 м, V0 = 12 В.

и. a = 0.02 м, b = 0.08 м, V0 = 12 В.

Решение (стр.197, пример 4.7)

Краевая задача формулируется как задача Дирихле (4.9). В силу симметрии решаем уравнение Лапласа в цилиндрической системе координат

. (1)

Показать, что , где .

В силу симметрии и . В результате (1) принимает вид:

. (2)

Решая последовательно это уравнение имеем:

, (3)

где константы определяются из граничных условий

(4)

Откуда . Соответственно из (3) потенциал электростатического поля между двумя концентрическими цилиндрами равен

, где . (5)

Используя MATLAB строим распределение скалярного потенциала электростатического поля между двумя концентрическими цилиндрами, полагая, что .

clear;

clf

a = 0.01;

b = 0.04;

V0 = 6;

radius = a: 0.001: b;

voltage = V0 * log(radius / b) ./ log(a / b);

plot (radius, voltage)

xlabel ('\rho')

ylabel ('V')

grid on

Задание 4.2

Двухмерное распределение потенциала аппроксимируется выражением . Показать, что эта функция удовлетворяет уравнению Пуассона и построить поверхности распределения потенциала и электрического заряда , Кл/м³. Поверхности строятся в интералах , с шагом 0.2 м.

а.

б.

в.

г.

д.

е.

ж.

Решение (стр.190, пример 4.4)

Так как , то заданное распределение потенциала удовлетворяет двухмерному уравнению Пуассона .

Используя MATLAB строим распределение скалярного потенциала электростатического поля u и электрического заряда .

clear;

clf

xmin = -5;

xmax = 5;

ymin = -5;

ymax = 5;

step = 0.2;

[x, y] = meshgrid(xmin: step: xmax, xmin: step: xmax);

voltage = (x .^ 2 + y .^ 2) / 4;

surf(x, y, voltage)

hold on

charge = del2(voltage);

mesh (x, y, charge)

view(-37.5, 20)

xlabel ('x', 'fontsize', 12)

ylabel ('y', 'fontsize', 12)

zlabel ('\rho_v, V(x, y)', 'fontsize', 12)

Задание 4.3

Двухмерное распределение потенциала в районе и описывается выражением . Продифференцировать аналитически, а также, используя MATLAB, реализовать численное дифференцирование уравнения Пуассона при , и построить графики плотности электрических зарядов , Кл/м² , а также распределение потенциала. Графики строятся с шагом 0.1 по осям.

а. =1, V₀ = 1 В.

б. =2, V₀ = 1 В.

в. =3, V₀ = 1 В.

г. =4, V₀ = 1 В.

д. =4, V₀ = 0.1 В.

е. =4, V₀ = 0.5 В.

ж. =4, V₀ = 0.2 В.

з =4, V₀ = 0.3 В.

Решение (стр.224, пример 4.16)

Уравнение Пуассона имеет вид . Использовать в MATLAB функцию del2.

clear;

clf;

V0 = 1;

eps = 1;

xmin = -2;

xmax = 2;

ymin = -2;

ymax = 2;

step = 0.1;

eps_0 = 8.854187817e-12;

eps_a = eps * eps_0;

[x, y] = meshgrid (xmin: step : xmax, ymin: step: ymax);

z = V0 * exp(-x .^ 2 - y .^ 2);

% Умножаем на 4, т.к. del2 делит оператор Лапласа на 2 * N, где N -

% размерность матрицы

ro = -del2(z, step) * 4 * eps_a;

subplot (2, 1, 1)

surf(x, y, z)

view(-45, 10)

xlabel('x')

ylabel('y')

zlabel('u')

subplot (2, 1, 2)

mesh(x, y, ro)

view(-45, 10)

xlabel('x')

ylabel('y')

zlabel('\rho_s')

% Аналитическая проверка

ro_anal = 4 * V0 * exp (-x .^ 2 - y .^ 2) .* (1 - x .^ 2 - y .^ 2) * eps_a;

% Расчет разности между аналитикой и тем, что рассчитывалось с помощью del2

delta = abs (ro - ro_anal);

delta_max = max (max(delta))