Тема 3. Плоские волны

Основные теоретические сведения по плоским волнам даны на лекциях и в литературе [3-9]. Поэтому ниже дана краткое пояснение к понятиям дисперсии и групповой скорости.

3.1. Явление дисперсии и групповая скорость

Для случая распространения плоской волны в среде без потерь фазовая скорость не зависит от частоты

. (3.1)

Напомним, что зависимость фазовой скорости от частоты называется дисперсией. В этом случае (например, в средах с потерями; в металлических волноводах) при распространении сигнала с конечной полосой частот фазовая скорость не определена и вводится понятие групповой скорости.

Существование дисперсии необходимо учитывать, оценивая распространение электромагнитных сигналов – волновых процессов переносящих информацию. Сигналы, как известно, всегда обладают некоторым спектром частот. В дисперсионной среде скорости распространения каждой из гармоник частотного спектра различны (1.36). Поэтому, преодолев некоторое расстояние, эти гармонические составляющие приобретут различные фазовые запаздывания. Сложение этих гармоник с новыми фазовыми сдвигами обязательно приведет к искажению сигнала (формы импульса). Помимо этого, в среде с потерями амплитуда каждой из гармоник затухает по-разному, что также приводит к дополнительным искажениям. Рассмотренное явление обусловлено характеристиками среды, поэтому назовем его материальной дисперсией.

Для иллюстрации характеристики групповой скорости рассмотрим распространение двух гармонических сигналов в дисперсионной среде

или

, (3.2)

где величина играет в сущности ту же роль, что и вещественное k в случае волны в среде без потерь, –фазовая константа на частоте .

Рис. 3.1. К понятию групповой скорости.

Сигнал (3.2) представлен в виде произведения двух сомножителей – несущей и огибающей, что отражено на рис. 3.1. Скорость распространения огибающей по аналогии с (3.1) равна . В пределе эта скорость распространения огибающей, называемая групповой, равна

. (3.3)

Групповая скорость совпадает со скоростью распространения энергии, определяемой средним значением вектора Пойнтинга

, (3.4)

где для свободного пространства , - знак сопряжения.

Задания

Задание 3.1

Плоская электромагнитная волна с амплитудой и частотой f распространяется в положительном направлении оси z в бесконечной среде. Электрическое поле поляризовано по оси x. Параметры среды :

а. f=300 МГц,

б. f=300 МГц,

в. f=300 МГц,

г. f=300 МГц,

д. f=500 МГц,

е. f=500 МГц,

ж. f=500 МГц,

з. f=500 МГц,

и. f=300 МГц,

к. f=300 МГц,

л. f=300 МГц,

м. f=300 МГц,

н. f=500 МГц,

о. f=500 МГц,

п. f=500 МГц,

р. f=500 МГц,

Записать полное пространственно-временное представление для действительного вектора напряжённости электрического поля, предварительно вычислив коэффициенты затухания и фазы . Используя MATLAB, построить зависимости фазовой и групповой скоростей от частоты в диапазоне 30 < f < 3000 МГц.

Решение 3.1а [стр.330, пример(6.15)– (6.16)]

, (1)

(2)

где введены обозначения – тангенс угла диэлектрических потерь, – постоянная распространения среды без потерь, ; .

Комплексная постоянная распространения , соответственно

. (3)

Далее

– фазовая скорость; – групповая скорость. (4)

. (5)

Используем MATLAB и строим зависимости (4) фазовой и групповой скоростей от частоты в диапазоне 30<f<3000 МГц.

clear;

clf;

epsr = 9;

mur = 1;

sigma = 10;

mu0 = 4 * pi * 1e-7;

eps0 = 1e-9 / (36 * pi);

c = 3e8;

mu = mu0 * mur;

eps = eps0 * epsr;

f = 30e6: 10e6: 3e9;

omega = 2 .* pi .* f;

v0 = sqrt(1 / (mu * eps));

soe = (sigma ./ (omega * eps)) .^ 2;

gct = sqrt(1 + soe);

fct = sqrt(1 + gct);

vp = v0 .* sqrt(2) ./ fct;

vg = v0 .* sqrt(2) .* fct .* gct ./ (fct .* fct .* gct - 0.5 .* soe);

plot(f / 1e9, vp / c, '-', f / 1e9, vg / c, '--');

grid on;

xlabel('f, ГГц');

ylabel('v/c');

legend ('Фазовая скорость', 'Групповая скорость', 2)

Полезно проанализировать два случая

1. Высокочастотная аппроксимация – .

В этом случае , соответственно

. (6)

2. Низкочастотная аппроксимация – .

В этом случае , соответственно

. (7)

Задание 3.2

Плоская электромагнитная волна с амплитудой и частотой f распространяется в положительном направлении оси z в бесконечной среде. Электрическое поле поляризовано по оси x. Параметры среды ,

а. ; f=3 ГГц

б. ; f=3 ГГц

в. f=3 ГГц

г. f=3 ГГц

д. f=3 ГГц

е. f=3 ГГц

ж. ; f=2 ГГц

з. ; f=2 ГГц

и. f=2 ГГц

к. f=2 ГГц

л. f=2 ГГц

м. f=2 ГГц

Рассчитать скин слой для заданной удельной проводимости . Записать пространственное представление для действительной амплитуды электрического поля плоской волны, распространяющейся в заданной среде в момент времени t=0, предварительно вычислив коэффициенты затухания и фазы . Используя MATLAB, построить зависимость .

Решение 3.2а [стр.333, пример(6.17)– (6.18)]

(м)=1.21 мкм. (1)

Волна затухает в раз от начальной амплитуды на расстоянии скин-слоя .

. (2)

При вычислении коэффициенты затухания и фазы используем низкочастотную аппроксимацию – . Проверим выполнение этого условия:

.

В этом случае

(3)

Используем MATLAB и строим зависимость (2).

clear;

clf;

mu0 = 4 * pi * 1e-7;

Ey0 = 10;

f = 3e9

sigma = 5.8e7 % Cu

delta = 1 / sqrt(pi * f * mu0 * sigma)

alpha = 1 / delta;

beta = alpha;

lambda = 2 * pi / beta

z = 0: 0.2e-6: 12e-6;

Ey = Ey0 .* exp(-alpha .* z) .* cos(beta .* z);

plot(1e5 * z, Ey);

grid on;

xlabel('z, мкм');

ylabel('E_x, В/м');

axis ([0 1 -2 10])