5 Т.О необх-х усл-х экстремума.

Теорема: Пусть функция f(x) имеет в точке z экстремум, тогда все ее частные производныеые первого порядка в этой точке равны 0, т.е. z является стационарной точкой: f(z)=0

6.Т-ма о дост-х усл-х экстремума.

Теорема: Пусть функция f(x) имеет непрерывные производные 2-го порядка в стационарной точке z, тогда точка z является точкой мах, если матрица Гессе Н(z) функции f(x) в т. z отрицательно определена, и точкой min,если матрица Н(z) положительно определена.

7. Понятие полож (отриц) опред-ти матрицы. Критерий Сильвестра

Квадратная матрица Н=(hij)nxn называется положительной(не отрицательно определенной), если выполняется соотношение:

x^THx>(≥)0  x0 (1)

Выражение x^THx наз квадратичной формой матрицы Н.

Матрица H наз отрицательно (не положительно) определённой, если знаки неравенств (1) противоположны.

Критерий Сильвестра: Справедливы утверждения:

1)квадратная матрица положительно определена <=> когда все ее главные (угловые) миноры положительны

2) квадратная матрица отрицательно определена <=> когда для любого ее главного (углового) минора к-ого порядка выполняется соотношение: (-1)^К*М_к>0.

8. Классич метод поиска экстремума ф-и без ограничений

Метод применяется для решения задачи f(x)→max (min) х Rⁿ и состоит в выполнении 2 шагов.

Шаг1. Решается уравнение f(z)=0,из которого определяются все стационарные точки целевой функции f(x) (подозрительные на экстремум).

Шаг2. В каждой из найденных стационарных точек вычисляются матрицы Гессе и устанавливаются типы определенности данной матрицы в данной точке. Для определения типа определенности используется Теорема об условиях определенности матриц (Критерий Сильвестра): Справедливы утверждения:

1)квадратная матрица положительно определена <=> когда все ее главные (угловые) миноры положительны

2) квадратная матрица отрицательно определена <=> когда для любого ее главного (углового) минора к-ого порядка выполняется соотношение (-1)^К*М_к>0.

9 Метод множ-й Лагранжа

Обоснование: В основе метода лежит тот факт, что в точке условного экстремума х^*Д,где Д-область ограничений, градиент целевой функции f(x*) д.б. ортогонален касательной гиперплоскости к области ограничений Д, определяемый системой уравнений-ограничений g₁(x)=b₁

g₂(x)=b₂

………

g_m(x)=b_m

Это означает, что должны существовать такие числа ₁,₂,…_m для кот справедливо:

f(x^*) = _j=1^mj * gj(x^*)

Т.е. градиент f(x^*) представим в виде линейной комбинации градиентов функции ограничений gi(x), кот в свою очередь ортогональны множествам уравнений

{х: g_i(x) = b_j} ф-ии ограничений g_i(x)

10 Условия Куна-Таккера

Усл К-Т явл-ся необходимыми усл-ми сущ-вания решения задачи максимизацией

f(x)→max.

{g₁(x)≤b₁ …

{g_m(x)≤b_m.

Это следует из теоремы:

Теорема Куна-Таккера необходимыми условиями сущ-ия стационарной точки ф-ии Лагр. L=f(x)+ Σ_i=1^m λ_i(b_i-g_i(x)) явл-ся след. Условия:

λ_i ≥0,

∂f(x) /∂x_j - Σ_i=1^m λ_i ∂g_i(x)/ ∂x_j=0 , i=1,m (1)

λ_i(b_i-g_i(x))=0, i=1,m g_i(x)≤ b_i, i=1,m

Метод основан на Т о единственности экстремума строго вып(вогн) ф-ии и достаточности условия К-Т для некот. постановок задач. Реализуется за 2 шага:

Шаг1: проверяются св-ва целевой ф-ии f(x): выпуклая или вогнутая и тип оптимизации задачи: максимизация(min-ция). Если рез-ты проверки соответствуют табл1 – метод К-Т применим, переход на шаг 2

Шаг2: решается система условий К-Т

λ_i ≥0,

∂f(x) /∂x_j - Σ_i=1^m λ_i ∂g_i(x)/ ∂x_j=0 , i=1,m (1)

λ_i(b_i-g_i(x))=0, i=1,m g_i(x)≤ b_i, i=1,m

Решение, если оно есть, будет единственным согласно теореме «о единственности экстремума строго выпуклой(вогнутой)ф-ии». Это решение и будет оптимальным планом(решением) исходной задачи.