50. Сильное равновесие по Нэшу.

Пусть Q{G} – произвольная коалиция игроков. Обозн ч/з (s^→*//s_Q’) ситуацию, кот. отличается от ситуации равновесия по Нэшу s^→ тем, и только тем, что в ней игроки коалиции Q заменяют свои равновесные по Нэшу стратегии sⁱ на др. s^’. Все другие, не входящ. В коалицию Q игроки остаются при своих равновесных по Нэшу стратегиях. Ситуация s^→* наз. сильно равновесной по Нэшу (сильным равновесием Нэша), если справедливо сотнош.: ¥ Q{G_i} ∑_Gi€Q H_i (s^→//s_Q’^′)≤∑_Gi€QH_i (s^→*),(1). Это соотнош говорит о том, что ситуация s^→* устойч ситуация, что отклонение от неё не имеет смысла ни для какой коалиции, т.е. создание коалиции бессмысленно.

49. Теорема Нэша. Решение задачи о конкуренции с помощью теоремы Нэша (на примере)

Т. Нэша. Пусть мн-ва s_i, i=1,n игроков G_i явл. выпуклыми и компактными мн-вами, а ф-ции выигрышей H_i(s^→) = H_i( s¹_,…, s^i-1_, sⁱ_, sⁱ⁺¹_,…,sⁿ) явл. вогнутыми ф-циями по перемен. S_i на мн-вах стратегий S_i , i=1,n.Тогда равновесные по Нэшу стратегии s^i*, i=1,n м.б. найдены из ур-ия: ∂H_i(s^*→)/ ∂sⁱ = 0, i=1,n,(2).

Пример:2 конкурирующие фирмы F₁ и F₂ пр-дят и выставляют на продажу одинаковый товар кол-вом S₁ и S₂ соотв-но.Цена Р товара на рынке завис от степени его насыщения и опр-ся формулой р=α-β(S₁+S₂).Себест-ти товара заданы и равны: F₁= С₁ и F₂=С₂.Опред равновесную по Нэшу ситуацию,считая стратегиями фирм кол-ва производимой ими прод-ции S₁ и S₂.Предп-ся,что произ-ся бесконечно делимая прод-ция,кот.успешно продается).

Решение:прибыли П₁ и П₂ фирм F₁ и F₂ соотв-но опр-ся соотн-ем:

П₁=(α-β(S₁+S₂))S₁-С₁S₁=Н₁(S₁,S₂);

П₂=(α-β(S₁+S₂))S₂-С₂S₂=Н₂(S₁,S₂);

По теор.Нэша из (2)=>:

∂H₁(s^→)/ ∂s₁ =∂П₁/∂S₁= α-2βS₁ -βS₂-С₁=0

∂H₂(s^→)/ ∂s₂ =∂П₂/∂S₂= α-βS₁ -2βS₂-С₂=0

Откуда: 2S₁+S₂=(α-С₁)/β

S₁+2S₂=(α-С₂)/β

Решая эту СЛУ,получаем решение-равновесные по Нэшу страт-и

S*₁=1(α-2C₁+C₂)/3β; S*₂=1(α-2C₂+C₁)/3β .

Полученные в примере равновесные по Нэшу стратегии S₁ и S₂ реализуют равновесие Курно,что явл-ся следствием общего утверждения:всякое равновесие Курно явл-ся равновесием Нэша. Такой нед-ток равновесия Нэша как возможное сущ-ие неск-их равновесий, неравноценных для игроков, а также соблазн к отклонению путём создания коалиций, подталкивает к применению более сильных критериев оптим-сти, одним из кот. явл. сильное равновесие по Нэшу.

51. Оптимальность по Парето

Ситуация s^→* наз.оптимальной по Парето, если не сущ др.такой ситуации s^→*, для кот.было бы справ-во:

H_i(s^→)≥H_i(S^→*) ¥G_i, i=1,N^¯¯

H_k(s^→)>H_k(s^→*) для ¥G_k ,(1)

Оптимальная по Парето ситуация означ, что не сущ другой такой ситуации, кот.была бы предпочтительнее хотя бы для 1-го игрока и не хуже для всех остальных игроков.

В оптимальной по Парето ситуации отклонение одного игрока может дать ему больший выигрыш, но при этом как правило ↓ выигрыш др.игроков. Такое невозможно для равновесия Нэша. Равновесие по Нэшу отражает условия жесткого индивидуализма, в то время как сит-ция оптим. по Парето соотв равновесиям, получаемым в духе коллективизма.