1 Теорема Кронекера-Капелли

Теорема: СЛУ Ах=b совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы А равен рангу расширенной матрицы этой системы: r(A) =r(Ab)

Расширенная матрица-система (Ab), получается приписыванием к матрице А справа вектор-столбца b правой части СЛУ.

Следствие: Однородная СЛУ Ах=0 имеет не нулевое решение, , когда ранг матрицы системы меньше числа её неизвестных.

2 Метод Крамера решения слу

Этот метод предназначен для решения СЛУ, в которых число уравнений равно числу неизвестных т.е. матрица-система является квадратной.

Метод применяется только для тех СЛУ, матрица сис-мы которых не вырождена, т.е. имеет ненулевой определитель.

В основе метода лежит теорема Крамера:

Справедливы утверждения:

1) СЛУ с квадратной матрицей Ах=b имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы сис-мы не=0 (│А│0)

2) В случае,когда │А│0, решение может быть найдено по формуле:

x_j=Дj (b)/Д j= 1,n

где Д=|A| - определитель матрицы; Д_j (b)– это определитель матрицы-системы, в которой ее j-ый столбец заменен на столбец правой части сис-мы b.

4. Понятие градиента функции. Теорема о градиенте. Понятия матриц Гессе и Якоби.

М-цей Якоби Rg”(z”) вектора-ф-ии g”(x”) в т.z”наз м-ца размера m×n,эл-ты кот-й rij опр-ся соот-ем: r_ij=gi(z”)/xj, i=1,m j=1,n

Градиентом f(x) функции f(x) в точке z наз вектор, компонентами которого явл-ся частные производные 1-ого порядка этой функции ^Tf(x)=(f(z)/x₁, f(z)/x_2,… f(z)/x_n).

Теорема о градиенте: Градиент f(z)ф-ии f(x) в точке z указывает напр-е максимального роста ф-ии f(x) в точке z. При этом максимальная скорость роста равна модулю градиента в этой точке:

Max _u:u=1 f(z)/u=f(z)

Доказательство: Пусть  - угол между векторами f(z) и u. Т.к. скалярное произведение <f(z),u> этих векторов может быть найдено по формуле

(f(z),u) =f(z)*u*cos, а u- единичный вектор, тогда:

f(z)/u=f(z)cos  .

Из этого равенства следует, что производная по направлению принимает наибольшее значение при cos  =1, т.е. когда векторы f(z) и u имеют одинаковое направление. ЧТД.

Квадратная матрица H=(h_ij)_nxn элементы которой определяются значениями частных производных 2-го порядка функции f(x) в точке zRⁿ, т.е. h_ij(z)=²f(z)/x_ix_j i,j=1,n наз матрицей Гессе функции f(x) в точке z.

3 Метод Гаусса решения слу

Основан на том факте, что элементарные преобразования дают эквивалентные СЛУ.

Метод реализуется последовательностью шагов, на каждом из кот производятся следующие действия:

1) Из системы, полученной после предыдущих шагов, удаляются все пустые уравнения вида: 0х₁+0х₂+…0х_n=0

если в оставшейся системе имеется хотя бы одно противоречивое уравнение вида 0х₁+0х₂+…0х_n=b0 то преобразования заканчиваются с выводом об отсутствии решений исходной СЛУ.

2)Пусть противоречивых уравнений нет. Тогда одно из уравнений выбирается за разрешающее уравнение и одно из неизвестных – за разрешающее неизвестное. К этому выбору предъявляются следующие требования:

а)на предыдущих шагах выбранное уравнение не было разрешающим

б) в разрешающем уравнении коэффициент при разрешающем неизвестном должен быть отличен от 0. Этот коэф-нт наз разрешающим элементом на данном шаге.

3)Из всех уравнений кроме разрешающего исключается разрешающее неизвестное. Для этого разрешающее уравнение прибавляется к каждому из уравнений СЛУ после умножения на подходящее число.

Преобразования заканчиваются, когда ни одно из уравнений СЛУ нельзя выбрать в кач-ве разрешающего (все они в этому моменту побывали в числе разрешающих).

Финальная СЛУ дает решение для исходной СЛУ.

Два исхода преобразований:

1)Финальная СЛУ имеет столько уравнений, сколько и неизвестная. В этом случае решение единственно и оно легко выписывается из финальной СЛУ.

2)Число уравнений финальной системы меньше числа неизвестных. В этом сл.сис-ма имеет бесконечное мн-во решений. Те неизвестные, которые не были в качестве разрешающих, наз-ся свободными и могут принимать любые значения.

Неизвестные, которые по ходу преобразований выбирались в кач-ве разрешающих наз базисными. Значения базисных переменных полностью определяются свободными и легко определяются из финальной СЛУ.

Замечания:

1) В процессе реализации метода автоматически дается ответ на вопрос о совместности сис-мы.

2) По ходу преобразований на каждом шаге допускаются упрощающие элементарные преобразования СЛУ.

3) В любой момент на любом шаге текущая СЛУ м.б. интерпретирована как исходная и все преобразования м.б. применены к этой сис-ме с самого начала.