Раздел 3.2 Численные методы алгебры

1. Метод Гаусса численного решения СЛАУ. Условия применимости метода Гаусса. Связь метода Гаусса с разложением матрицы на множители. Элементарные треугольные матрицы. Метод Гаусса с выбором главного элемента. Основная идея метода. Матрицы перестановок.

2. Метод Холесского (квадратного корня). Алгоритм LU-разложения для решения СЛАУ. Факторизация эрмитовой матрицы. Общие расчетные формулы.

3. Нормы векторов и матриц. Обусловленность. Число обусловленности. Устойчивость решения СЛАУ. Полная оценка относительной погрешности при численном решении СЛАУ.

4. Метод прогонки для решения СЛАУ.

5. Итерационные методы Якоби и Зейделя. Матричная запись методов Якоби и Зейделя. Каноническая форма одношаговых итерационных методов. Метод верхней релаксации для решения СЛАУ.

6. Исследование сходимости итерационных методов. Необходимое и достаточное условие сходимости стационарных итерационных методов. Оценка скорости сходимости стационарных итерационных методов.

7. Многочлены Чебышева. Итерационные методы с чебышевским набором параметров. Явный итерационный метод. Неявный чебышевский итерационный метод.

8. Итерационные методы вариационного типа. Метод минимальных невязок. Метод минимальных поправок. Метод скорейшего спуска. Метод сопряженных градиентов.

Раздел 3.3 Численные методы анализа

1. Интерполирование алгебраическими многочленами. Интерполяционные формулы Лагранжа и Ньютона. Оптимальный выбор узлов интерполирования. Сходимость интерполяционного процесса.

2. Интерполирование с кратными узлами. Интерполяционный многочлен Эрмита.

3. Интерполирование сплайнами. Построение кубического сплайна. Сходимость процесса интерполирования кубическими сплайнами.

4. Другие постановки задач интерполирования и приближения функций. Наилучшее приближение функции, заданной таблично. Сглаживание сеточных функций. Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве.

5. Численное интегрирование. Формулы прямоугольников и трапеций. Формула Симпсона. Апостериорная оценка погрешности методом Рунге. Автоматический выбор шага интегрирования. Экстраполяция Ричардсона.

6. Квадратурные формулы интерполяционного типа. Формулы Ньютона Котеса. Численная устойчивость квадратурных формул.

7. Метод Гаусса вычисления определенных интегралов. Квадратурные формулы Гаусса, их свойства.

8. Численное дифференцирование. Некорректность операции численного дифференцирования.

9. Метод простой итерации и метод Ньютона для решения нелинейных уравнений. Сходимость метода итераций и метода Ньютона.

10. Итерационные методы для решения систем нелинейных уравнений.

Раздел 3.4 Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

1. Сеточные функции. Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ первого порядка.

2. Методы Рунге Кутта. Общая формулировка методов. Методы Рунге Кутта второго и более высокого порядка аппроксимации.

3. Многошаговые разностные методы. Формулировка методов. Погрешность аппроксимации многошаговых методов. Устойчивость и сходимость разностных методов.

4. Условно устойчивые и абсолютно устойчивые разностные методы. Понятие жесткой системы дифференциальных уравнений. Нелинейные системы ОДУ первого порядка. Численное интегрирование жестких систем ОДУ первого порядка.