Раздел 2.6 Ряды (числовые, функциональные, Фурье)

1. Числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости (Коши, Даламбера, Лейбница).

2. Функциональные последовательности и ряды. Сходимость в точке, в среднем и равномерная. Свойства равномерно сходящихся рядов.

3. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряд Тейлора. Приложения степенных рядов.

4. Ортогональные системы. Процесс ортогонализации. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля. Ряды Фурье по ортонормированным системам.

5. Классический ряд Фурье. Сходимость ряда в точке и на множестве. Ряд Фурье в комплексной форме.

Раздел 2.7 Кратные интегралы

1. Двойной интеграл, его вычисление в декартовой системе координат. Замена переменных, переход к полярным координатам.

2. Тройной интеграл, его вычисление в декартовой системе координат. Переход к цилиндрической и сферической системам координат.

3. Криволинейные интегралы первого и второго рода, их свойства и вычисление. Формула Грина.

4. Поверхностные интегралы первого и второго рода, их свойства и вычисление. Формулы Остроградского Гаусса и Стокса.

5. Скалярные и векторные поля. Дивергенция и ротор векторного поля. Потенциальные и соленоидальные поля. Дифференциальные операции второго порядка.

Раздел 2.8 Обыкновенные дифференциальные уравнения

1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Основные типы уравнений, интегрируемых в квадратурах.

2. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка.

3. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Структура общего решения. Фундаментальная система решений.

4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида. Метод Лагранжа вариации постоянных.

5. Нормальная система дифференциальных уравнений. Векторная запись системы с постоянными коэффициентами.

6. Элементы качественной теории дифференциальных уравнений. Автономные системы. Фазовое пространство, фазовые траектории. Точки покоя. Устойчивость по Ляпунову. Теорема Ляпунова об устойчивости.

Раздел 2.9 Теория функций комплексной переменной. Операционное исчисление

1. Элементарные функции комплексной переменной. Дифференцируемость и аналитичность функции. Условия Коши Римана.

2. Понятие о конформных отображениях. Конформные отображения, осуществляемые элементарными функциями.

3. Интегрирование функций комплексной переменной. Основная теорема Коши. Интегральная формула Коши.

4. Ряды Тейлора и Лорана. Изолированные особые точки, их классификация.

5. Вычеты. Основная теорема о вычетах. Применение вычетов для вычисления интегралов.

6. Преобразование Лапласа, его свойства. Основные теоремы об изображениях и оригиналах.

7. Методы нахождения оригиналов по изображениям.

8. Решение дифференциальных уравнений и их систем операционным методом. Интеграл Дюамеля, его применение.

9. Интеграл Фурье и преобразование Фурье. Формула обращения. Свойства преобразования Фурье.

Раздел 2.10 Уравнения математической физики

1. Классификация линейных уравнений в частных производных. Задача Коши и краевые задачи.

2. Уравнение колебания струны. Метод Даламбера и метод разделения переменных.

3 Уравнение теплопроводности. Метод преобразования Фурье.

4. Уравнение Лапласа. Решение задачи Дирихле в круге методом Фурье.

Раздел 2.11 Элементы вариационного исчисления

1. Задача классического вариационного исчисления. Вариация функционала и её свойства. Уравнение Эйлера.

2. Поле экстремалей. Достаточные условия экстремума функционала. Условный экстремум.

3. Понятие о задачах оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина для задач оптимального управления.

Часть 3 Вычислительная математика

Раздел 3.1 Введение в численные методы

1. Схема вычислительного эксперимента. Вычислительный алгоритм. Требования к вычислительным методам. Устойчивость и сложность алгоритма (по памяти, по времени).

2. Представление действительных чисел в ЭВМ. Округление чисел в ЭВМ. Накопление погрешностей округления. Оценка погрешностей округления.

3. Понятия об аппроксимации и интерполяции. Интерполяционный многочлен Лагранжа.

4. Аппроксимация функции методом наименьших квадратов.

5. Применение степенных рядов при вычислении интегралов и решении дифференциальных уравнений.