Раздел 2.8 Обыкновенные дифференциальные уравнения
Задание 2.8.1
Решить дифференциальные уравнения.
Вариант 1
а)
, б)
,
в)
.
Вариант 2
а)
, б)
,
в)
.
Вариант 3
а)
, б)
,
в)
.
Вариант 4
а)
, б)
,
в)
.
Вариант 5
а)
, б)
,
в)
.
Вариант 6
а)
, б)
,
в)
.
Вариант 7
а)
,
б)
,
в)
.
Вариант 8
а)
,
б)
,
в)
.
Вариант 9
а)
, б)
в)
.
Вариант 10
а)
, б)
,
в)
.
Задание 2.8.2
Найти общее решение дифференциального уравнения, понизив его порядок.
Вариант 1 
. Вариант
2
.
Вариант 3 
. Вариант
4
.
Вариант 5 
. Вариант
6
.
Вариант 7 
. Вариант
8
.
Вариант 9 
. Вариант
10
.
Задание 2.8.3
Найти общее решение дифференциальных уравнений.
Вариант 1 а)
, б)
,
в)
.
Вариант 2 а)
, б)
,
в)
.
Вариант 3 а)
, б)
,
в)
.
Вариант 4 а)
, б)
,
в)
.
Вариант 5 а)
, б)
,
в)
.
Вариант 6 а)
, б)
,
в)
.
Вариант 7 а)
, б)
,
в)
.
Вариант 8 а)
, б)
,
в)
.
Вариант 9 а)
, б)
,
в)
.
Вариант 10 а)
, б)
,
в)
.
Задание 2.8.4
Решить задачу Коши для дифференциальных уравнений.
Вариант 1 а)
, 
,
б)
, 
.
Вариант 2 а)
,
,
б)
, 
.
Вариант 3 а)
, 
,
б)
, 
.
Вариант 4 а)
, 
,
б)
, 
.
Вариант 5 а)
, 
,
б)
, 
.
Вариант 6 а)
, 
,
б)
, 
.
Вариант 7 а)
, 
,
б)
, 
.
Вариант 8 а)
, 
,
б)
, 
.
Вариант 9 а)
, 
,
б)
, 
.
Вариант 10 а)
, 
,
б)
, 
.
Задание 2.8.5
Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения методом вариации постоянных.
Вариант 1 
Вариант 2 
Вариант 3 
Вариант 4 
Вариант 5 
Вариант 6 
Вариант 7 
Вариант 8 
Вариант 9 
Вариант 10
Задание 2.8.6
Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами:
Требуется:
а) найти общее решение системы;
б) записать систему и её решение в матричном виде.
Вариант 1
Вариант
2
Вариант 3
Вариант
4
Вариант 5
Вариант
6
Вариант 7
Вариант
8
Вариант 9
Вариант 10
Задание 2.8.7
Определить характер точек покоя системы.
Вариант 1 
Вариант
2 
Вариант 3 
Вариант
4 
Вариант 5 
Вариант
6 
Вариант 7 
Вариант
8 
Вариант 9 
Вариант
10 
Задание 2.8.8
Естественный
прирост
населения большого города пропорционален
количеству жителей и промежутку времени
(коэффициент пропорциональности
начальный момент времени,
начальное число жителей города). Кроме
того, население города увеличивается
благодаря иммиграции. Скорость прироста
населения этим путем пропорциональна
времени (коэффициент пропорциональности
).
Найти зависимость числа жителей от
времени (составить дифференциальное
уравнение, считая функцию
дифференцируемой).
Вариант 1. Найти
коэффициент
,
если
,
а население города за два десятилетия
возросло в два раза.
Вариант 2. Найти коэффициент , если , а население города за три десятилетия возросло в четыре раза.
Вариант 3. Найти
коэффициент
,
если
,
а население города за одно десятилетие
возросло в
раз.
Вариант 4. Найти
коэффициент
,
если
,
а население города за одно десятилетие
возросло в три раза.
Вариант 5. Во сколько раз возрастет население города за десятилетие только за счет рождаемости, если ?
Вариант 6. Во сколько
раз возрастет население города за
полтора десятилетия только за счет
рождаемости, если
?
Вариант 7. Найти
прирост населения города за десятилетие,
если
считается известным.
Вариант 8. Найти
прирост населения города за два
десятилетия, если
считается известным.
Вариант 9. Убедиться,
что население города удвоится менее,
чем за одно десятилетие, если
.
Вариант 10. Убедиться,
что население города удвоится менее,
чем за одно десятилетие, если
.
Задание 2.8.9
Записать
дифференциальное уравнение движения
снаряда, выпущенного вертикально вверх
с начальной скоростью
,
если кроме силы тяжести на него действует
сила сопротивления воздуха пропорциональная
квадрату скорости, коэффициент
пропорциональности равен
.
Вариант 1. За какое время снаряд достигнет максимальной высоты?
Вариант 2. За какое время снаряд с максимальной высоты упадет на землю?
Вариант 3. С какой скоростью снаряд ударится о землю?
Вариант 4. Какой максимальной высоты подъема достигнет снаряд?
Вариант 5. Какова скорость снаряда на полпути вверх?
Вариант 6. Какова скорость снаряда на полпути вниз?
Вариант 7. Найти
коэффициент сопротивления
,
считая скорость
,
с которой снаряд ударится о землю,
известной.
Вариант 8. Записать закон изменения расстояния, пройденного снарядом при движении вниз.
Вариант 9. Записать закон изменения скорости снаряда при движении вверх.
Вариант 10. Записать закон изменения скорости снаряда при движении вниз.