46. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка.

(1)Ряд a₁-a₂+a₃-a₄+…+(-1)^n-1*a₁+…, a_n>0 (-a₁+a₂-a₃+a₄-…+(-1)^n*a_n-1+…) называется знакочередующимся рядом.

Признак Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда (1) не возрастают по абсолютной величине, т. е.

(2)a₁>=a₂>=a₃>=a_n-1>=a_n>=…и

(3) a_n=0, то такой ряд сходится и его сумма 0<S<=a₁

47. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Ряд наз-ся знакопеременным, если его членами являются действительные числа произвольного знака.

Пусть дан знакопеременный ряд a₁+a₂+…+a_n+…= (1), где числа a₁, a₂,…, a_n,… могут быть как положительными, так и отрицательными. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: (2).

Определение: Если сходится ряд (2), то ряд (1) наз-ся абсолютно сходящимся. Если ряд (1) сходится, алгоритм ряд (2) расходится, то ряд (1) называется условно(или неабсолютно) сходящимся.

Теорема: Если знакопеременный ряд абсолютно сходится, то он сходится.

48. Понятие функционального ряда. Область сходимости.

Пусть , n принадлеж. натур. – ф-ция опред. на мн-ве Х. Функциональным рядом назыв. выражение вижа (1)

Мн-во D всех значений х, при кот-ых ряд (1) сход. назыв. областью сходимости функц. ряда

49.Степенные ряды. Теорема Абеля

Степ рядом наз ряд вида =a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ+….(1)

Где a₀,a_1,a_2,a_n….действ числа. Они наз коэф ряда a_n(x)=a_nxⁿ – общий член ряда.

Теорема Абеля:

Если (1) сход при х=х₀ (х₀ не =0) то он обсол сход при всех х удовл нер-ву . Если (1) расх при x=x₁ то он расх при всех удовл нер-ву

Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов.

Опр интерв (-R;R) внутр котор степен ряд сход, а вне его расх, назыв интерв сход ряда.

R- радиус сход ряда. Вывед ф-лу для рад сход.

Пусть дан степенной ряд ; a_n не = 0 n =1,2,3…

Прим призн Д’Ламбера к ряду сост из обсол величин:

тогда ряд сход (если lim < 1 ). Предпол, что не=0 тогда можно утвержд, что ряд сход при всех худовл нер-ву сх

для всех расх => радиус сходится

аналог если восп признаком коши получим

при х= R вопр о сход для кажд ряда расматр индивид

50.Свойства степенных рядов

1. сума степен. ряда - есть ф-ия непрерыв. на любом отрезке, содержащимся внутри интервала сходимости

2. степен. ряд можно почленно интегрир. на любом отрезке, содерж. в интервале. Получ. ряд будит иметь такой же радиус сходимости как и исходный.

3. степен. ряд можно почленно дифф-ть любое число раз, радиус сход. его при это не изменится

51,52.. Разложение в степенные ряды. Ряд Тейлора и Маклорена.

Пусть f(x) имеет производные всех порядков некотор. окрестн. т. x. Рядом Тейлора для f(x) в т. х0 назыв. степен. ряд след. вида:

Если х0=0, то ряд назыв. рядом Маклорена

При выполнении некотр. условий ряд Тейлора для f(x) равен самой f(x). Говорят, что ф-ия представима в виде ф-ии степен. ряда

x принадлеж. R.

53. Разложение функций sin X, cos X, ex в ряд Маклорена. Биномиальный ряд

54. Применение рядов к приближенным вычислениям. Степенные ряды примен для вычисления с заданной точностью значений функции; для приближенного вычисления определ.интегралов, при интегрировании диф.уравнений. Для вычисления приближ значения ф-ции в её разложении в степенной ряд сохраняют первые n членов, а остальные члены отбрасывают. Чтобы получить погрешность найденного приближ значения, нужно оценить сумму отброш членов. Если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброш членов, сравнивают с бесконечно убывающей геом прогрессией. Если ряд знакопеременный и его члены удовлетворяют признаку Лейбница, то исп-ся оценка r<a _n+1., где a _n+1 - первый из отброшенных членов, т.е. ошибка приближенного вычисления не превосходит абсолютной величины первого из отброш членов.