28. Несобственные интегралы.

1. Интегралы с бесконечными пределами.

Оп-е. Пусть функция f(x) определена на промежутке [a;+) и интегрируема на любом отрезке [а;b]  [a;+). Тогда, если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом от функции f(x) на промежутке [a;+) и обозначают . Если предел существует, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же предел не существует или = , то говорят, что несобственный интеграл расходится. Аналогично определяется несобственный . + . Если оба интеграла в правой части равенства сходятся, то сходится и интеграл . Если же хотя бы один интеграл в правой части расходится, то тоже расходится.

29. Несобственные интегралы от неограниченной функции.

Оп-е. Пусть функция f(x) определена на промежутке [а;b) интегрируема на отрезке [а;b-]  [а;b) . Предположим, что f(x) неограниченна в точке х=b. Тогда, если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом и обозначают . Если предел существует, то несобственный интеграл сходится. Если же предел не существует или =, то несобственный интеграл расходится. Аналогично, если функция неограниченна при х=а, то . Если функция f(x) неограниченна при x=с, а а<b<c, то + . Если оба интеграла в правой части существуют и конечны, то интеграл сходится, если же хотя бы один из этих интегралов не существует или =, то расходится.

30. Приближенное вычисление опред. Интеграла

Если сущ-ет конечный независящий от способа разбиения отрезка [a, b] на частичные отрезки и от выбора точек ξ_i соответствующих частичных отрезков [x_i-1; x_i] предел интегральной суммы (1) при , то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) на пром-ке от a до b и обозн-ся (2)В этом случае ф-ция называется интегрируемой на отрезке [a, b], a – нижний предел интегрирования, b – верхний предел интегрирования. Геометрический смысл опред-ого интеграла. Пусть f(x)≥0 на отрезке [a, b]

y=f(x) x=a

x=b y=0

Площадь ступенчатой фигуры:

σ = f(ξ₁) ∆x₁ + f(ξ₂) ∆x₂ +…+f(ξ_n) ∆x_n =

равна интегральной сумме для ф-ции f(x) на отрезке [a, b]. Если сущ-ет ,то его прин-юза площадь криволинейной трапеции

31. Дифференциальные уравнения (основные понятия).

Уравнение вида F(x,y,y`,y``,…,y<sup>(n)</sup>)=0, связывающее аргумент x неизвестную функцию y(x) и ее производные, называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Уравнение, которое не содержит производную неизвестной функции не является ДУ. Порядком ДУ называется порядок старшей производной, а степень старшей производной называется степенью ДУ. Решением ДУ F(x,y,y`,y``,…,y<sup>(n)</sup>)=0 называется функция y=(x), которая будучи подставлена в уравнение вместе со своими производными обращает его в тождество. График этой функции называется интегральной кривой. Процесс отыскания решений называется интегрированием ДУ. В общем случае для нахождения решения уравнения F(x,y,y`,y``,…,y⁽ⁿ⁾)=0 потребуется провести интегрирование n раз. Поэтому решение будет содержать n произвольных постоянных, т.е. иметь вид y=(x,c₁,c₂,…,c_n). Решение, заданное в неявном виде Ф(x,y, c₁,c₂,…,c_n)=0 называется интегралом ДУ.