20. Приложение определенного интеграла в геометрии и экономике.

Определённым интегралом функции f(х) непрерывной на отрезке а, b называется предел интегральной суммы, независящий от дробления отрезка а, b на частичные и выбора точек _i когда наибольшая из длин частичных отрезков стремится к нулю.

Геометрический смысл – интегральная сумма равно площади под ломанной.

Экономический смысл – Если f(t) – производ-ть труда в нек. Момент времени t, то

t

 f(t)dt – объём произвед. Продукции за время [o;t]

0 Теорема(достаточное усл. Сущ.) – Если ф-ия у= f(х) непрерывна на интервале [ав], то она интегрируема на этом отрезке.

21.Св-ва определенных интегралов:

1. ^b_a∫c*f(x)dx=c* _a^b∫f(x)dx.

2. ^b_a ∫(f₁(x)+f₂(x))dx= ^b_a ∫f₁(x)dx+ ^b_a ∫f₂(x)dx.

3. ^b_a∫f(x)dx=- ^a _b∫f(x)dx.

4. ^b_a∫f(x)dx=^c_a∫f(x)dx+ ^b_c∫f(x)dx.

5. ^b_a∫f(x)dx=f(c)*(b-a).

6. f(x)>=0 на [a;b], то ^b_a∫f(x)dx>=0.

7. f₁(x)=<f₂(x) при х€[a;b], ^b_a ∫f₁(x)=< ^b_a ∫f₂(x)dx.

8. m(b-a)=< ^b_a ∫f(x)dx=<M(b-a)

9. - ^b_a ∫│f(x)│=<dx ^b_a ∫f(x)dx=< ^b_a ∫│f(x)│dx.

22. Формула Ньютона-Лейбница.

Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то

) = F(x) .

23,24. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема. Если φ:[α,β]→[a,b] − непрерывно дифференцируемое отображение отрезка α ≤ t ≤ β в отрезок a≤x≤b, такое, что φ(α)=a и φ(β)=b, то при любой непрерывной на отрезке [a,b] функции f(x) функция f(φ(t))φ'(t) непрерывна на отрезке [a,b] и справедливо равенство

Если функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a,b], то справедлива следующая формула интегрирования по частям:

25.Площадь плоской фигуры.

Площадь криволинейной трапеции, прилежащей к оси ОХ и ограниченной линиями у=f(x)>=0, x=a, x=b, y=0 находится по формуле . Если фигура ограничена линиями у=f(x), y=(x),

x=a, x=b, то площадь находится по формуле f(x) - (x))dx (кривая f(x) лежит выше кривой (x) ). Площадь криволинейной трапеции прилежащей к оси ОУ находится по формуле (y)dy.

26.Объем тела вращения.

Найдем объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной линиями у=f(x)>=0, x=a, x=b, y=0. Предположим, что f(х) - непрерывная функция. Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей точками a=x_o< x₁< x₂<…< x _n-1<x _n = b. Через каждую точку деления проведем плоскость  оси ОХ. Все тело разобьется на n слоев. На каждом из частичных отрезков [х_i-1; x_i] выберем произвольным образом точку х_i-1<=<= x_{i .} Объем каждого слоя заменим объемом цилиндра, высота которого  x_{i ,} а R= f(). Объем ступенчатого тела =f²(₁)  x₁ +f²(₂)  x₂ +…+ f²(_n)  x_n = f²(_i)  x_i . Это интегральная сумма для функции f²(x) на отрезке [a;b] . Т.к. функция f(x) непрерывна, то существует предел =  f²(_i)  x_i = = {x_i}. Этот предел и принимает за объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции оси ОХ. V= (вращение вокруг оси ОХ). V= (вращение вокруг оси ОУ).

27.Длина дуги кривой. Под длиной дуги понимают предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной возрастает неограниченно, а долина наибольшего звена стремится к нулю. В этом случае кривая называется спрямляемой. Пусть кривая задана непрерывной функцией y=f(х), которая имеет непрерывную производную f ’(х) на отрезке [a,b] , т.е. кривая является гладкой. Впишем в данную кривую ломаную линию М₀М₁…Мn, где М₀=А(а, f(а)) и Мn=В(b,f(b)). Проэцируем М_k-1M_k на ось Ох, получаем разбиение {x_k} отрезка [a,b]. Пусть y_k – приращение функции f(х) на отрезке [x_k-1x_k]. По т Пифагора . По т. Лагранжа о конечных приращениях : y_k=x_kf ’( _k) ( _k[ x_k-1x_k]), М_k-1M_k= x_k. Длина всей ломаной: = x_k. Тогда предел интегральн. суммы: l= x_k.