15Закон распределения функции от случайного аргумента общего вида

Пусть задана случайная величина Х и известна её плотность распределения , задана функция от этой случайной величины:

При этом во всей области возможных значений х имеется обратная функция: , а функция Y – это функция общего вида, т.е. в области возможных значений изменения х есть интервалы возрастания и убывания функции Y, т.е. её можно представить в виде:

Здесь рассматривается вероятность двух несовместных событий, т.е. вероятностей того, что Х попадёт в интервал (а, ψ₁(y)), потом вероятность того, что Х(ψ₂(y), ψ₂(y)), далее Х(ψ₄(y), ψ_n-1(y)) и т.д. Или:

Функция распределения случайной величины Х равна вероятности того, что Х попадёт в один из интервалов:

(1)

Выражение (1) также можно записать в виде:

(2)

Формула (2) – это способ распределения случайной величины Y.

Для определения плотности распределения случайной величины Y необходимо взять производную от выражения (2) по правилу дифференцирования интеграла по двум переменным предела, а именно: производная от интеграла по двум переменным предела (по верхнему – убывающая часть графика – и нижнему) равна производной по верхнему пределу интеграла минус производную по нижнему пределу:

С учётом этого положения плотность распределения случайной величины Y (произвольной функции от случайного аргумента) будет определяться формулой:

(3) Где - это число пересечений функции линией, соответствующеё значению y:

16Законы распределения функции от произвольного числа случайных аргументов

Пусть задана система случайных величин Х, Y с известной плотностью распределения , также задана некоторая функция от случайных аргументов: .Требуется определить функцию распределения случайной величины и плотность её распределения и .

Представим функцию в виде некоторой поверхности:

Если сделать сечение этой поверхности плоскостью, параллельной плоскости xOy, на некоторой высоте , то область D будет ограничена линией уровня, которая представляет собой линию сечения поверхности данной плоскостью.

При известной плотности распределения системы функцию распределения величины можно представить в виде:

(1)

Т.е. функцию распределения величины равняется вероятности того, что случайная точка (x, y) попадёт в область D.

17Предельные теоремы теории вероятностей

Ранее отмечалось, что теория вероятностей изучает закономерности массовых случайных явлений. Эти закономерности отражают устойчивость массовых случайных явлений. В широком смысле под устойчивостью понимается то, что при очень большом числе случайных явлений средний результат перестаёт быть случайным. В узком смысле под устойчивостью понимается ряд, в каждом из которых устанавливается факт приближения степени результатов опыта к некоторым определённым постоянным.

Другая группа теорем устанавливает условия, при которых наступает определённый закон распределения случайной величины.

Неравенство Чебышева

Неравенство Чебышева утверждает: каково бы ни было положительное число , вероятность того, что случайная величина Х отклонится от математического ожидания на величину, большую или равную этому числу (числу ), ограничена сверху величиной , т.е. справедливо неравенство: (1)

где - математическое ожидание случайной величины; - дисперсия.

Доказательство: Приведём доказательство этого неравенства для дискретной случайной величины (оно здесь более наглядно). Представим дискретную случайную величину в виде точек на числовой оси:

На этой оси отложим точку, соответствующую математическому ожиданию, относительно которой отложим отрезки - и . Известно, что дисперсия дискретной случайной величины:

(2)

Наряду с выражением (2) рассмотрим две суммы:

(3)

(4)

- это точки лежащие правее/левее отрезков - и .

Из выражений (2), (3) и (4) можно записать систему неравенств: (5)

Выражение (4) можно представить в виде: (6)

Тогда можно записать неравенство в виде: (7)

Отсюда следует:

Аналогичным образом это неравенство можно доказать и для непрерывной случайной величины.