1.Статика! основные понятия и определения.

Количественной мерой механического взаимодействия материальных тел является сила. Сила величина векторная, ее действие на тело определяется: 1)численной величиной(модуль);2)направлением силы; 3)точкой приложения силы.

Система сил под действием которой тело нах-ся в равновесии наз-ся уравновешенной или эквивалентной 0.

Две системы сил оказывающие одинаковое воздействие на тело наз-ся равнодействующей данной системы сил.

Если данная система сил эквивалентна одной из сил, тоэта сила наз-ся равнодействующей данной системе сил

Силы действующие на тело: внешние и внутренние.

Внешние – силы которые действуют на частицы данного тела со стороны др.материальных тел.

Внутренними – силы с которыми частицы данного тела действуют друг на друга.

Силы приложенные к телу в какой-то одной точке наз-ся сосредоточенной.

Сила действующая на все точки данной поверхности тела наз-ся распределенной. Распределенные силы хар-ся интенсивностью: равноравпределенная (Q=q*l), силы изменяющиеся по линейному закону (Q=q*l/2);по произвольному закону Q-опред.интегрированием.

2.Момент силы относительно центра на плоскости.

Вращательный эффект силы характеризуется ее моментом. Момент силы равен взятому с соответствующим знаком произведению силы на плечо. Плечом силы наз-ся перпендикуляр, опушенный из точки относительно кот-рой происходит поворот на линию действия силы. Момент силы зависит от: 1)модуля силы F и длины плеча h 2)направления поворота 3)плоскости поворота

3.Св-ва момента силы:

1)момент силы не изменяется при переносе точки приложения силы вдоль линий действия в любую др.точку.2)момент силы равен F равен 0 только тогда когда сила равна нулю или когда линия действия проходит через центр.3)момент силы выражаеться удвоенной площадью OAB.

4.Теор. Вариньона о моменте равнодействующей: если на какое либо тело действует несколько сил и эта система имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно некоторого центра равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил одного и того же центра.

5. Аксиомы статики

Если на свободное твердое тело действуют две силы то тело может нах-ся в равновесии тогда и только тогда когда эти силы равны по модулю и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны.

Аксиома 1, определяет простеющую уравновешенную систему,т.к опыт показывает, что свободное тело на которое действует только одна сила находится в равновесии не может.

Действие данной системы сил на абсалютно твердое тело не изменяются если от нее отнять или прибавить уравновешенные системы сил.

Аксиома 2 показывает, что 2 системы сил отличающиеся на уравновешенную систему эквивалентны друг другу.

Следствие из 1и 2:

Действие силы на абсолютно твердое тело не изменятся, если перенести точку приложения силы вдоль ее линии действия в любую точку.

Аксиома 3.

Две силы проложенные к телу в одной точке имеют равнодействующую приложенную в той же точке,и изображаемую диагональю параллелограмма построенных на этих силах как на сторонах. R=F1+F2

Аксиома 4.З-н равенства сил и противодействий.

При всяком действии одного тела на другое имеет место такое же по величине, но противоположное по направлению противодействию. F1=F2

Св-ва внутренних сил.

По аксиоме 4 любые две частицы твердого тела действующие друг на друга с илами равными по модулю и противоположному по направлению, т.к рассматриваем абсалютно твердое тело то по аксиомеесе 1 все внутренние силы образуют систему сил которую можно отбросить по аксиоме2.

Аксиома5. принцип отердевания.

Равновесие изменяющего тела нах-ся под действием данной систем сил не нарушается, если тело считать не отвердевшим.

При равновесии силы, изменяемое тело удовлетворяет тем же условиям, что и для тела абсалютно твердого. Но эти условия,будучи необходимыми, могут не быть достаточными.

6. теорема о трех силах

Если тело находится в равновесии под действием трех не паралельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии этих сил пересекаются в одной точке. Обратная теорема не верна.

7. Связи. Аксиомы связи.

Все что ограничивает перемещение данного тела в пространстве будем наз-ть связью.

Тело стремясь под действием приложенных сил осуществить перемещение которому препятствует связь будет действует на эту связь с силой, называемой силой давления на связь.

Связь действует на тело с той же по модулю и противоположной по направлению силой наз-ся силой реакции связей.

Силы не являющиеся реакцией связи называем активными силами.

Реакция связи зависит от действия сил и на перед не известно.

Аксиома. Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи и заменить их действия реакцией этих связей.

2.1 Пара сил. Моменты пары. Теорема о моментах сил пары.

Парой сил наз-ся система 2-х сил равных по модулю параллельных и направленных в противоположенные стороны сил не лежащих на одной прямой. Момент пары равен взятому с соответствующим знаком произведения одной из сил на ее плечо. Система сил образует пару не находящуюся в равновесий. Пара не имеет равнодействующей. ТЕОРЕМА: Алгебраическая сумма моментов сил пары относительно любого центра не зависит от выбора этого центра и равна моменту пары.(рис)

2.2 Эквивалентность пар.

Не изменяя оказываемого на тело действия можно пару сил приложенных к абсолютно твердому телу заменить любой другой парой лежащей в той же плоскости и имеющей тот же момент. Следствия: 1)данную пару не изменяемую оказываемое на тело действие можно переносить куда угодно к плоскости действия пары.2)у данной пары не изменяя оказываемою ею не тело действию модно произвольно менять модули сил и длину плеча сохраняя неизменным ее момент.3)две пары, лежащие в одной плоскости и имеющие одинаковые моменты эквивалентны.

2.3 Сложение пар. ТЕОРЕМА:

Система пар сил лежащих в одной плоскости эквивалентны одной паре лежащей в той же плоскости и имеющей момент равный алгебраической сумме моментов слагаемых пар: ; (рис) Условие равновесия пар: для равновесия плоской системы пар необходимо и достаточно чтобы алгебраическая сумма моментов этих пар =0.

3.1 Системы сходящих сил. Сходящиеся – силы, линии действия которых пересекаются в одной точке.

Геометрич.сложение сил. R=F1+F2. Если силы состовляют м-у собой угол α то ;

3.2геометрическое условие равновесия

Для равновесия приложенному к твердому телу системы сходящих сил необходимо и достаточно, чтоб равнодействующая этих сил была равна нулю.

Т.к. равнодействующая система сходящих сил определяется как как замыкающая сторона силового многоугольника, построенного из этих сил, то оно модет обратиться в ноль только если начало первой силы будет совпадать с концом последней, т.е силовой многоугольник будет замкнут.

3.3 Аналитический условие равновесия системы сходящих сил.

R=0

; ;

Для равновесия системы сходящих сил необходимо и достаточно, чтоб сумма проекций этих сил на каждую из трех координат осей были равны нулю.

4.1 Теорема о параллельном переносе сил:

силу приложенную к абсолютно твердому телу, не изменяя оказанного ею на тело действие можно переносить параллельно ей самой в любую точку, добавляя при этом пару с моментом , равным моменту переносимым силой относительно точки куда сила переноситься. (Рис.)

Приведение плоской системы сил к заданному центру.

Теорема: любая произвольная плоская система сил при приведении к произвольно взятому центру O заменяться 1 силой, равной главному вектору системы приложенной в центре приведения O и одной парой, равной главному моменту системы относительно центра О.

Главный вектор и главный момент. Главный вектор может быть определен геометрически с построением силового многоугольника или аналитически по проекциям на оси координат:

4.2 Зависимость главного момента от выбора центра.

Изменение главного момента при перемене центра приведения равно моменту главного вектора приложенного в прежнем центре относительно нового. (рис)

4.3 Условие равновесия произвольной плоской системы сил.

Основные и дополнительные формы. Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо чтобы выполнялось условие: условия эти являются необходимыми, если какое-нибудь не выполняется то система приводится или к равнодействующей или к паре , то равновесия не будет. Одновременно условия эти являются достаточными , поэтому что при система может приводиться к паре с моментом равным 0.

Аналитическое условие равновесия: для равновесия плоской произвольной системы необходимо чтобы суммы проекций этих сил на каждую из двух координатных осей и суммы их моментов любого центра =0. Дополнительная: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно чтобы сумма моментов всех этих сил относительно, каких либо центров a и b , и сумма их проекции на ось не были равны 0.

4.4 Условие равновесия плоской системы параллельных сил:

Для равновесия плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно чтобы сумма проекций этих сил на ось параллельных силах и сумма их моментов относительно любого момента =0. ; (рис.)

4.7 Равновесие системы тел. Расчленение.

Статический расчет инженерных сооружений во многих случаях приводит к рассмотрению условий равновесия конструкции состоящей из частей соединенные какими-нибудь связями. Связи соединяющие части конструкции наз-ся внутренними в отличии от связей которые скрепляют конструкции с телами в нее не входящих и наз-ся внешними.

Если после отбрасывания внешней связи конструкция остается жесткой, то для нее задачи статики решаются как для абсолютно тв.тела, если после отбрасывания внешней связи форма конструкции изменяется то такие задачи решаются при помощи принципа отвердевания . чтобы получить недостающие для решения задачи уравнения необходимы дополнительные условия. Конструкцию расчленяют по внутренними связям и рассматривают равновесие какой либо из частей. Расчленять конструкцию надо по связям соединяющих не более двух неизвестных.

Второй способ: конструкцию сразу расчленяют по внутренним связям и составляют уравнения равновесия по каждым из частей. Если конструкция состоит из п-частей то можно составить 3п уравнений. При этом надо помнить что расчлененные части действуют друг на друга с силами равными по величине и противоположные по направлению.

5.Фермы

Фермой наз-ся жесткая конструкция, состоящая из прямолинейных стержней соединяющихся на концах шарнирами. Если все стрежни лежат в одной плоскости ферма наз-ся плоской. Места соед.стрержней фермы наз-ся узлами. При расчете все внешние нагрузки к ферме прикладывается только в узлах, трением в узлах фермы пренебрегают. Собственный вес стержней распределяется по узлам. На каждой ила тренияз стержней фермы будет действовать только 2 силы приложенные к его концам, следовательно если стержни будут нах-ся в равновесии то эти силы направлены по одной прямой в противоположные стороны, т.е работают только на растяжение или только на изгиб. Существует аналитический и графический расчет ферм. Аналитический: метод вырезания узлов и метод сечений.

Метод сечений используется в тех случаях когда нужно найти усилия лишь в некоторых стержнях. Порядок решения: определить статическую определимость k=2n-3, где k-число стержней, n-число узлов; показать и определить реакции связей; рассекаем ферму на две части сечением проходящим через три стержня в одном из которых или в каждом нужно найти усилие. Точки в которых линии действия неизвестных усилий в стержнях в методе сечений наз-ся точками Ритора.

6.1 Момент силы относительно центра О величина векторная. Его модуль Mo = Fh, где F - модуль силы, a h - плечо, т. е. длина перпендикуляра, опущенного из О на линию действия силы (см. рис.); направлен вектор Mo перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и силу, в сторону, откуда поворот, совершаемый силой, виден против хода часовой стрелки (в правой системе координат). С помощью векторного произведения Момент силы выражается равенством Mo = [rF], где r - радиус-вектор, проведённый из О в точку приложения силы.

6.2 Выражение момента силы с помощью векторного произведения.С помощью векторного произведения Момент силы выражается равенством M_o = [rF], где r - радиус-вектор, проведённый из О в точку приложения силы. Размерность Момент силы - L²MT², единицы измерения - н×м или кгс×м.

6 .3 Момент силы относительно оси

Лемма о проекциях позволяет ввести в рассмотрение новую характеристику силы по отношению к оси. Определение. Моментом силы F относительно оси z называется алгебраическая величина, равная проекции на эту ось момента силы относительно произвольной точки указанной оси.

m_z(F)=пр_zm_A(F) (A принадлежит z)

Рассмотрим способ вычисления и свойства момента. Пользуясь произволом выбора центра моментов на оси, выберем в качестве такового т.О- проекцию точки А приложения силы на ось z. Обозначив через к орт оси z, и применив круговую перестановку в смешанном произведении, запишем

m_z(F)=k.(OAxF)=(kxOA).F=hFCosa

Здесь учтено, что ввиду взаимной перпендикулярности векторов k и OA, модуль произведения kxOA равен расстоянию ОА точки приложения сил до оси.

Формула показывает, что:

а) Момент относительно оси дает только составляющая силы, направленная по касательной t к окружности радиуса h.

б) Знак момента определяется знаком Cos. Из Рис вытекает следующее правило знаков: Момент силы относительно оси положителен, если с конца оси видно, что сила стремится повернуть тело против часовой стрелки.

1)Из формулы вытекает, что момент силы относительно оси равен нулю в cлучае, если сила и ось лежат в одной плоскости (a=/2). Это происходит, когда:1) сила параллельна оси.2) линия действия силы пересекает ось.3) если сила перпендикулярна плоскости в которой лежит ось, то ее момент относит. Оси равен взятому с соответствующим знаком произведению ххх силы на кратчайшее расстояние между силой и осью.

6.4 Зависимость между моментами силы относительно оси и относительно центра

Момент силы F относит. Оси = проекции на эту ось вектора изображающего момент силы относительно любого центра, лежащего на оси.

6.5 Пара сил в пространстве. Момент пары. Свойства пары в пространстве.

Момент пары си в пространстве рассматривают как вектор направленный по перпендикуляру к плоскости заданной парой в такую сторону, откуда поворот совершается парой по ходу часовой стрелки...вектор м.б......в любой плоскости можно перемещать куда угодно. По модулю вектор равен произведению силы на плечо(плечо пары кратчайшее расстояние между.................)

Свойства пары сил в пространстве:

1)Теорема о параллельном переносе пары

Заданную пару сил не изменяя ее действие на твердое тело можно переносить в любую плоскость || плоскости действия этой пары

2)Теорема о эквивалентных парах

Пары сил эквивалентны если их моменты геометрически равны.

3)Сложение пар в пространстве

Любая система пар действ. На абсолютно твердое тело эквивалентно 1 паре с моментом равным геометрической сумме моментов слагаемых пар.

4)Условие равновесия пар

Для равновесие системы пар сил необходимо и достаточно, чтобы геометрич. Сумма моментов этих пар была равна 0.

6.6 Приведение силы к заданному центру в пространстве

При приведении F к некоторому ц.о. Получаем в этом центре силу F'' геометр. Равную заданной силе F и присоединяемую пару сил с моментом геометр. Равным моменту этой силы относительно центра приведения.

6.7Приведение произвольной пространственной системы сил к заданному центру. Теорема. Главный вектор и главный момент. Следствия.

Теорема:

Любая система сил действующая на абсолютно твердое тело при приведении произвольно взятому ц.О заменяется одной силой равной главному вектору систему и приложены в центре О|| одной пары с моментом равной главной моменту системы относительно ц. О

Следствия : 1 Две системы сил имеющие одинаковые главные векторы и главный вектор статически эквивалентны

2 Чтобы задать какую-либо систему сил достаточно задать ее главный момент и главный вектор относительно некоторого центра.

Зависимость главного момента от выбора центра

При перемене центра приведении главный вектор не изменяется, глав. момент изменяется.

Изменение гл. момента равно моменту глав. Вектора приложенного в прежнем центре относительно центра.

Условия равновесия произвольной пространственной системы сил:

Геометрические форма

Под равновесие данного тела понимается его относительный покой выбранной системы координат. Для равновесия твердого тела необходимо достаточно чтобы главный вектор и главный момент относительно выбранного центра были равны 0

Аналитическая форма

Произвольную пространственную систему сил необход. И достаточно чтобы суммы проекций этих сил на каждую из 3х координат осей и суммы их моментов относительно их каждой коорд. оси были равны 0

Если на твердое тело кроме системы сил действует система пар с моментами то при составлении уравнения равновесия первые три уравн. Не изменяются потому что сумма проекций пары сил всегда равна 0

6.10Условие равновесия пространственной системы параллельных сил.

Для равновесия простр. Системы параллельных сил необходимо и достаточно чтобы сумма проекций этих сил на ось параллельную силам и суммам их моментов относит двух других осей были равны 0

Теорема Вариньюна о моменте равнодействующей относительно оси

Связь жесткая теоре́ма Вариньо́на — одна из теорем механики, устанавливающая зависимость между моментами сил данной системы и моментом их равнодействующей силы относительно какого-либо центра или оси. Сформулирована для сходящихся сил Пьером Вариньоном в 1687, либо, ещё раньше, Симоном Стевином.

Теорема Вариньона:

Если система сил, приложенных к абсолютно твердому телу имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно произвольного центра (оси) равен сумме моментов всех сил системы относительно того же центра (оси)

Векторная запись теоремы:

7.2 Трение скольжение, закон Кулона.

Сила возникающая при движении одного тела по другому и препятствующегося другому наз-ся силой трения скольжения.

З-н кулона

Сила трения скольжения нах-ся в общей касательной плоскости соприкосновения тел. И направлена в сторону противоположно направлению возможного скольжения. Величина сила трения зависит от активных сил и заключина м-у нулем и своим максимальным значением которое достигается в момент выхода тела из положения равновесия. Максимальная сила трения скольжения при прочих равных условиях независит от площади соприкосновения трущихся поверхностей. Максим.сила трения скольжения пропорциональна нормальному давлению(реакции) , где f-коэф.пропорциональности, N-нормальная реакция.

Коэф.треия скольжеия зависит от материала и физического состояния трущихся поверхностей. Величина коэф.трения скольжения в зависимости от условий устанавливается экспериментально.

7.3 полная реакция шероховатой поверхности.

Полная реакция шероховатой поверхности в состоянии представляет равномерно геометрич.складывается из нормальной реакции максимальная сила трения скольжения. Состояние предельного равновесия полная реакция шероховатой поверхности отклонена на максимальный угол φ. Угол отклонения реакции шероховатости пов-ти от нормали в состоянии пред.равновесия наз-ся углом трения, угол трения зависит от коэф.трения.

Геометрическое место полных реакций шероховатых поверхностей при движении тела по плоскости в различных направлениях в состоянии предел.равновесия наз-ся конусом трения. Область заключенная внутри конуса трения областью трения.

8.1 цент параллельных сил

На каждую частицу твердого тела находящиеся в близи пов-ти земли действуют силы притяжения земли и центробежные силы возникающие следствии вращ. Земли вокруг оси. Силы тяжести в следствии малости тел по сравнению с радиусом земли образуют систему параллельных сил. При решении задач эти силы заменяют одной равнодействующей. Система параллельных сил F1, F2…Fn имеющие равнодействующую не меняют положения точки при любых положительных поворотах этих сил в любую сторону на один

т.С через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил при любом повороте этих сил в одну и ту же сторону на один и тот же угол наз-ся центром параллельных сил.

8.2центр тяжести твердого тела

Центр тяжести твердого тела наз-ся неизменно связанна с этим телом точка через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести частиц данного тела при любом положении тела в пространстве. Точка центра тяжести – точка геометрическая, она может нах-ся и вне предела данного тела. Р=ΣРк;

8.3 координаты центров тяжести однородных тел.

Если тело однородное, то вес тела Рк можно найти:

Всего тела Р=γ*V ;

Аналогично для пластины: ; ;

; ; центр тяжести однородного тела определяется как центр тяжести соответствующего объема, площади или линии.

8.4 способы определений координат центров тяжести тел.

1. симметрия . если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то центр тяжести лежит соответственно в плоскости, на оси или центре симметрии

2. используется в тех случаях когда тело сложной формы, можно тело разбить на части правильно геометрической формы, центры тяжести которых известны.

3.Дополнение. применяется в тех случаях, когда тело имеет отверстия

4.Интегрирование. этот способ используется в тех случаях когда тело нельзя разбить на части геометрической формы. В этих случаях тело разбивают на бесконечно малые части. ∆Vк,∆Sк,∆lк

5. Экспериментальный. Используется в тех случаях, когда слишком большое тело.