11. Характеристическое уравнение. Уравнение Эйлера

В общем случае не существует алгоритма нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка

,

где , …, , - непрерывные функции, но не постоянные.

Однако, если известно одно частное решение , то порядок уравнения можно понизить, выполнив замену переменной , при этом вновь получается линейное однородное дифференциальное уравнения, но уже -го порядка с зависимой переменной .

Пример. Рассмотрим . Пусть - частное решение. Выполним замену переменной . Имеем

.

Тогда из уравнения следует, что

или .

Учитывая, что , окончательно получим линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка (уравнение с разделяющимися переменными) , решение которого .

Второе решение фундаментальной системы решений уравнения - это .

В случае, когда , …, - постоянные, Эйлер предложил искать решение

(1)

в виде , где - постоянная. Подставляя в (1), получим

.

Уравнение имеет корней, с учетом кратности.

Характеристическим уравнением линейного ДУ -го порядка с постоянными коэффициентами называется алгебраическое уравнение -й степени относительно

. (2)

Замечание. Пусть - корни уравнения (2). Определитель Вронского

.

Аналогично, можно проверить, что определитель Вронского , если (2) имеет различных корней , ,…, для любого . Следовательно, , ,…, - линейно независимые решения уравнения (1), которые можно включить в фундаментальную систему решений этого уравнения.

Пример. Найти общее решение .

Решение. Если , то .

Из уравнения получим , т.е. характеристическое уравнение имеет вид , корни которого , . Следовательно, общее решение . 

Замечание. Нетрудно видеть, что характеристическое уравнение получается из (1) формальной заменой: на , на ,…, на , на .

Теорема (о кратных корнях). Пусть характеристическое уравнение (2) имеет корень кратности . Тогда в фундаментальную систему решений уравнения (1) можно включить решений, соответствующих этому корню:

, , ,…, . (3)

Доказательство. Для краткости изложения докажем утверждение для дифференциального уравнения второго порядка

, (4)

характеристическое уравнение которого имеет вид .

Пусть - единственный корень кратности два ( ) этого характеристического уравнения и, следовательно, или . Итак, одно решение (4) нам известно. Найдем второе решение фундаментальной системы решений (4), понизив порядок уравнения заменой , рассмотренной в начале раздела. Имеем

.

Тогда из уравнения (4) следует, что

или .

Учитывая, что , окончательно получим линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка (уравнение с разделяющимися переменными) , решение которого

. Так как

.

Отсюда в качестве второго решения мы можем взять , поскольку . 

Пример. Найти общее решение .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: .

Алгебраическое уравнение имеет корень и корень кратности два . Отсюда общее решение . 

Пример. Найти общее решение .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: . Данное алгебраическое уравнение имеет корень (находится подстановкой). Делим на и находим корни и уравнения . Следовательно, имеет корень кратности два и корень . Отсюда общее решение . 

Теорема (о комплексных корнях). Пусть характеристическое уравнение (2) имеет комплексные сопряженные корни кратности . Тогда в фундаментальной системе решений уравнения (1) этим корням соответствует решений:

, ,…, , , ,…, . (5)

Доказательство. Для краткости изложения докажем утверждение для дифференциального уравнения второго порядка (4), характеристическое уравнение которого имеет вид . Пусть - корни характеристического уравнения. В этом случае кратность . Здесь - комплекснозначные функции вещественной переменной

и

.

По теореме о линейном пространстве решений и являются также решениями (1), но, в отличие от и , - это вещественнозначные функции, которые и включают в фундаментальную систему решений. 

Пример. Найти общее решение .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: .

Алгебраическое уравнение имеет комплексные сопряженные корни , т.е. , Отсюда общее решение . 

Пример. Найти общее решение .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: . Так как , то корни кратности , , . . Отсюда общее решение: . 

Следствие. Общее решение уравнения имеет вид:

а) , если - вещественные корни характеристического уравнения;

б) , если , т.е. характеристическое уравнение имеет единственный корень кратности два;

в) , если - комплексные сопряженные корни характеристического уравнения.

Уравнение Эйлера

, (1)

где - постоянные при , заменой переменной при и при сводится к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами.

Пример. Найти общее решение уравнения: при .

Решение. Полагаем . Отсюда . Отсюда ; ; . Следовательно,

или . Характеристическое уравнение и общее решение .

Также как (1) решается уравнение вида

,

где - постоянные, - постоянные при , , заменой переменной сводится к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами.

Действительно, . Отсюда ; ; и т.д.

Пример. Найти общее решение уравнения: при .

Решение. Полагаем . Отсюда . Отсюда ; ; . Следовательно, получим .

Характеристическое уравнение имеет корни , и общее решение .

Найти общее решение:

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. . 7. . 8. .

9. . 10. . 11. . 12. .

Задачи на самостоятельное решение:

2.1. . 2.2. . 2.3. . 2.4. .

Ответы: 2.1. . 2.2. .

2.3. .

2.4. .