4. Ду с разделяющимися переменными
К дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными относятся пять видов дифференциальных уравнений:
1.
Уравнение вида
,
не содержащее (явно) искомую функцию.
Запишем его с помощью дифференциалов
или
,
откуда получим общее решение
.
Пример.
Найти решение задачи Коши
,
.
Решение. Найдем сначала общее решение
.
Используя начальное условие , получим
.
Ответ:
.
2.
Уравнение вида
,
не содержащее (явно) независимую
переменную. Имеем
или
,
откуда общий интеграл:
.
Пример.
Найти решение задачи Коши
,
.
Решение. Найдем сначала общее решение
.
Используя начальное условие , получим
.
Ответ:
.
3.
Уравнение вида
или
,
в котором правая часть есть произведение
функции, зависящей только от
,
на функцию, зависящую только от
.
Интегрируется
после “разделения переменных”, т.е.
приведения путем умножения и деления
к виду
.
В одну часть входят
только функции от
и дифференциал
,
а в другую – функция от
и
.
Общий интеграл:
.
4.
Уравнение вида
.
Интегрируется
также после “разделения переменных”,
т.е. приведения путем умножения и деления
к виду
.
В одну часть входят
только функции от
и дифференциал
,
а в другую – функция от
и
.
Общий интеграл:
.
Пример.
Найти общий интеграл
.
Решение. Разделяем переменные
.
Получили семейство окружностей.
Ответ:
.
5.
Иногда к уравнениям с разделяющимися
переменными относят уравнение вида
,
где
,
,
- постоянные. Заменой переменной
на
:
,
получим уравнение
,
т.е. уравнение вида 2.
Пример.
Найти общий интеграл
.
Решение.
Полагаем
,
получим уравнение
,
т.е. уравнение вида 2. Отсюда
.
Найти общий интеграл:
1. 1.
.
1.2.
.
1.3.
.
1.4.
.
1.5.
.
1.6.
.1.7.
.
1.8.
.
1.9.
.
1.10.
.
Задачи для самостоятельного решения:
2.1.
.
2.2.
.
2.3.
,
.
2.4.
.
2.5.
,
.
2.6.
,
.
2.7.
,
.
2.8.
,
.
2.9.
.
2.10.
.
Ответы:
2.1.
.2.
2.
.
2.3.
.
2.4.
.
2.5.
.
2.6.
.
2.7.
.
2.8.
.
2.9.
.
2.10.
.
5. Однородные ду. Уравнения, приводимые к однородным уравнениям
I.
Функция
называется однородной
функцией
-го
измерения,
если для всех
выполняется неравенство
.
Однородным дифференциальным уравнением называется уравнение вида
(1)
или
,
где
,
- однородные функции одного измерения.
Однородное уравнение приводится с помощью замены
(2)
к уравнению с разделяющимися переменными.
Действительно, из
(2) следует, что
.
Из (1) получаем
,
т.е. уравнение с разделяющимися
переменными, решение которого
.
(3)
Замечание.
Если
,
то уравнение (1) имеет вид
,
т.е. изначально является уравнением с
разделяющимися переменными. Если
при значении
,
то кроме решений, задаваемых формулой
(3), существует также особое
решение
.
Пример.
Найти общий интеграл
.
Решение.
Данное уравнение однородное, так как
-однородная функция нулевого измерения.
Полагаем
.
Из уравнения получаем
.
Находим общее решение, вычисляя интеграл в левой части методом неопределенных коэффициентов:
,
,
где
.
Получили семейство окружностей,
касающихся оси
в начале координат. Кроме того, существует
особое решение
.
II. Рассмотрим уравнение
.
(4)
Пусть
,
тогда строки пропорциональны и
.
Такое уравнение заменой
сводится к уравнению с разделяющимися
переменными.
Пример.
Найти общий интеграл уравнения
.
Решение.
Вычисляем
.
Вводим новую зависимую переменную
.
Из уравнения получим
.
Далее решаем уравнение с разделяющимися переменными:
.
В результате
.
III.
Пусть
и, по крайней мере, одно из чисел
или
не равно нулю.
Тогда уравнение (4) не является однородным,
однако это уравнение можно
привести к однородному
путем введения новых переменных
и
,
где
,
.
Подставляя в (4), получим
.
Таким образом,
будем иметь однородное уравнение, если
и
являются решением системы:
.
Пример.
Найти общий интеграл уравнения
.
Решение.
Вычисляем
.
Вводим новые переменные
и
,
где
,
.
Из уравнения получим
.
Таким образом, будем иметь однородное уравнение, если и являются решением системы:
.
Находим решение однородного уравнения:
.
Следовательно,
.
В результате
.
Решить уравнения:
1.1.
.
1.2.
.
1.3.
.
1.4.
.
1.5.
,
.
1.6.
.1.7.
.
1.8.
,
.
1.9.
.
1.10.
.
Задачи для самостоятельного решения:
2.1.
;
2.2.
;
2.3.
;
2.4.
;
2.5.
;
2.6.
;
2.7.
;
2.8.
;
2.9.
;
2.10.
;
2.11.
;
2.12.
;
2.13.
;
2.14.
;
2.15.
;
2.16.
;
2.17.
;
2.18.
;
2.19.
;
2.20.
.
Ответы:2.1.
;
2.2.
;
2.3.
;
2.4.
;
2.5.
;
2.6.
;
2.7.
;
2.8.
;
2.9.
;
2.10.
;
2.11.
;
2.12.
;
2.13.
;
2.14.
;
2.15.
;
2.16.
;
2.17.
;
2.18.
;
2.19.
;2.20.
.