]Свойства первообразной

• Первообразная суммы равна сумме первообразных

• Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции

• Достаточным условием существования первообразной у заданной на отрезке функции   является непрерывность   на этом отрезке

• Необходимыми условиями существования являются принадлежность функции   первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу

• У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.

]Техника интегрирования

Нахождение первообразных значительно сложнее, чем нахождение производных. Для этого имеется несколько методов:

• линейность интегрирования позволяет разбивать сложные интегралы на части,

• интегрирование через подстановку, часто применяемое вместе с тригонометрическими тождествами или натуральным логарифмом,

• интегрирование по частям для операций с произведениями функций,

• метод обратной цепочки, особый случай интегрирования по частям,

• метод интегрирования рациональных дробей позволяет интегрировать любые рациональные функции (дроби с полиномами в числителе и знаменателе),

• алгоритм Риша (en:Risch algorithm),

• некоторые интегралы можно найти в таблице интегралов,

• при многократном интегрировании можно использовать дополнительную технику, для примера см. двойной интеграл и полярные координаты, Якобиан итеорема Стокса,

• Системы компьютерной алгебры помогают автоматизировать некоторые вышеприведённые символические операции, что очень удобно, когда алгебраические вычисления становятся слишком громоздкими,

• если функция не имеет элементарной первообразной (как, например,  ), её интеграл может быть вычислен приближённо с помощьючисленного интегрирования.

]Другие определения

Это определение является наиболее распространенным, но встречаются и другие, в которых ослаблены требования существования всюду конечной   и выполнения всюду равенства  , иногда в определении используют обобщения производной.

26. Свойства неопределённого интеграла

Свойства первообразных и неопределённого интеграла вытекают из определения и соответствующих свойств производных.

1. Из определения вытекает, что

и

Второе равенство нужно понимать так, что производная любой из функций, составляющих неопределённый интеграл, даёт один и тот же результат, равный подынтегральной функции (это как раз и есть определение первообразной). Два написанных равенства выражают взаимную обратность операций дифференцирования и интегрирования.

2. Имеет место равенство:

где    -- произвольная постоянная. Для доказательства обозначим через   некоторую первообразную для   , а через    -- некоторую первообразную для   . Тогда равенство означает, что  , где    -- постоянная. Это равенство верно, поскольку производные левой и правой частей дают одно и то же:   , так как    -- первообразная для   , а   , так как постоянный множитель можно вынести за знак производной и   .

Итак, постоянный множитель можно вынесить за знак интеграла.

3. Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

Действительно, пусть первообразная для   равна   , для   равна   , а для   равна   . Тогда равенство означает, что

где   . Поскольку

и

то равенство верно; при этом мы воспользовались тем, что производная суммы равна сумме производных.

Свойства 2 и 3 называются свойствами линейности неопределённого интеграла. Из них следует, что для любых постоянных   и 

и, в частности,

        Пример 1.4   Найдём интеграл   , пользуясь линейностью интеграла. Этот интеграл можно разбить на два интеграла, от каждого из слагаемых, и вынести в обоих постоянные множители за знак интеграла:

Заметим, что произвольное постоянное слагаемое достаточно записать один раз: написав   и   , мы сгруппировали бы постоянные слагаемые и получили произвольную постоянную   .     

4. Формула замены переменного. Пусть имеет смысл сложная функция   , где   изменяется на некотором интервале. Тогда

(1.3)

(В левой части после вычисления интеграла   сделана подстановка   .) Для доказательства обозначим через   некоторую первообразную для   и через    -- первообразную для   . Это означает, что   и   . Доказываемое равенство (1.3) эквивалентно тогда такому:

или

Для доказательства последнего соотношения достаточно проверить. что совпадают производные левой и правой частей. Но по формуле производной сложной функции получаем:

то есть то же, что и   . Формула (1.3) доказана.

Заметим, что выражение   в правой части (1.3) есть не что иное, как дифференциал   функции   . Так что мы можем записать (1.3) в виде

Теперь, после этого доказательства, мы получили право трактовать   в обозначении неопределённого интеграла как некоторый дифференциал, а не просто как элемент обозначения интеграла, вроде скобки.

27. Точное нахождение первообразной (или интеграла) произвольных функций — дело гораздо более сложное, чем дифференцирование, то есть нахождениепроизводной. Зачастую выразить интеграл в элементарных функциях невозможно.

Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл   Сделаем подстановку   где   — функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда   и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой: