- •1 Определение производной. Геометрический смысл
- •2 Уравнения касательной и нормали к кривой
- •3 Правая и левая производная
- •4 Дифференцируемость функции
- •5 Непрерывность дифференцируемой функции
- •6 Дифференциал функции. Геометрический смысл Понятие дифференциала
- •7 Дифференцируемость суммы, произведения, частного
- •8 Дифференцируемость сложной функции
- •9 Инвариантность формы дифференциала
- •10 Понятие обратной функции. Производная обратной функции
- •12. Дифференциал высшего порядка
- •13Дифференцирование функций заданных параметрически
- •14. Теорема Ролля
- •]История
- •16. Теорема Коши о среднем значении
- •]Отношение бесконечно больших
- •]Примеры
- •18. Формула Тейлора — Пеано
- •19. Признак возрастания (убывания) функции.
- •20. Экстремум
- •[Определения
- •]Замечание
- •[]Необходимые условия существования локальных экстремумов
- •]Достаточные условия существования локальных экстремумов
- •21. Достаточное условие экстремума
- •1) Первое достаточное условие:
- •2) Второе достаточное условие
- •3) Третье достаточное условие
- •22Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке
- •24. Асимптота
- •Виды асимптот графиков ]Вертикальная
- •]Горизонтальная
- •]Наклонная
- •]Свойства первообразной
- •]Техника интегрирования
- •]Другие определения
- •26. Свойства неопределённого интеграла
- •28. Интегрирование по частям
- •]Получение формул ]Для неопределённого интеграла
- •]Для определённого интеграла
- •]Примеры
- •29. Интегрирование рациональных функций
- •30 Интегрирование простейших дробей.
- •Интегрирование простейших дробей первого типа
- •Интегрирование простейших дробей второго типа
- •Интегрирование простейших дробей третьего типа
- •Интегрирование простейших дробей четвертого типа
- •31 Интегрирование иррациональных функций
- •Определение
- •Свойства
- •Геометрический смысл
- •36 . 11.2. Свойства определённого интеграла.
- •37. Теорема о среднем в определённом интеграле
- •]Доказательство
- •39. Теорема Ньютона — Лейбница
- •]История
- •41. Интегрирование по частям
- •]Получение формул ]Для неопределённого интеграла
- •]Для определённого интеграла
- •]Примеры
- •42. Вычисление площадей плоских фигур
- •]Длина дуги как параметр
22Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке
Говорят, что функция , определенная на промежутке Х, достигает на нем своего наибольшего (наименьшего) значения, если существует точка а, принадлежащая этому промежутку, такая, что для всех х из Х выполняется неравенство .
Функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.
Наибольшее значение М и наименьшее значение m непрерывной функции могут достигаться как внутри отрезка, так и на его концах. Если наибольшего (наименьшего) значения функция достигает во внутренней точке отрезка, то эта точка является точкой экстремума.
Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке :
найти ;
найти точки, в которых или не существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка ;
вычислить значения функции в точках, полученных в п.2, и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее; они и будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции на отрезке , которые можно обозначить так: .
Если поставлена задача найти для непрерывной на функции , то она решается по тому же правилу, что соответствующая задача для отрезка .
Отличие: на третьем этапе вместо вычисления значений функции на концах отрезка находят пределы функции при приближении к концам интервала.
Иногда для отыскания наибольшего или наименьшего значения непрерывной функции на промежутке полезны два утверждения:
если функция имеет в промежутке Х только одну точку экстремума , причем это точка максимума, то - наибольшее значение функции на промежутке Х;
если функция имеет в промежутке Х только одну точку экстремума , причем это точка минимума, то - наименьшее значение функции на промежуткеХ.
23.
24. Асимптота
Аси́мпто́та[1] (от греч. ασϋμπτωτος — несовпадающий, не касающийся) кривой с бесконечной ветвью — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность[2]. Термин впервые появился уАполлония Пергского, хотя асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед[3].
Виды асимптот графиков ]Вертикальная
Вертикальная асимптота — прямая вида при условии существования предела .
Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:
Замечание: обратите внимание на знаки бесконечностей в этих равенствах.
]Горизонтальная
Горизонтальная асимптота — прямая вида при условии существования предела
.
]Наклонная
Наклонная асимптота — прямая вида при условии существования пределов
Пример наклонной асимптоты
Замечание: функция может иметь не более двух наклонных(горизонтальных) асимптот!
Замечание: Если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует!
Связь между наклонной и горизонтальной асимптотами
Если при вычислении предела , то очевидно, что наклонная асимптота совпадает с горизонтальной. Какова же связь между этими двумя видами асимптот?
Дело в том, что горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при , и из выше указанных замечаний следует, что
Функция имеет или только одну наклонную асимптоту, или одну вертикальную асимптоту, или одну наклонную и одну вертикальною, или две наклонных, или две вертикальных, либо же вовсе не имеет асимптот.
Существование указанных в п. 1.) асимптот напрямую связано с существованием соответствующих пределов.
График функции с двумя горизонтальными асимптотами
]Нахождение асимптот
[Порядок нахождения асимптот
Нахождение вертикальных асимптот.
Нахождение двух пределов
Нахождение двух пределов :
если в п. 2.), то , и предел ищется по формуле горизонтальной асимптоты, .
[]Наклонная асимптота — выделение целой части
Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть. Например:
Дана функция .
Разделив нацело числитель на знаменатель, получим:
.
При , , то есть:
,
и является искомым уравнением асимптоты.
25. Первообразная
Первообра́зной[1] или примити́вной функцией (иногда называют также антипроизводной) данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F ′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.
Так, например, функция является первообразной . Так как производная константы равна нулю, будет иметь бесконечноеколичество первообразных; таких как или … и т. д.; таким образом семейство первообразных функции можно обозначить как , где C — любое число. Графики таких первообразных смещены вертикально относительно друг друга, и их положение зависит от значения C.
Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если F — первообразная интегрируемой функции f, то:
Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница.
Благодаря этой связи множество первообразных данной функции f называют неопределённым интегралом (общим интегралом) f и записывают в виде интеграла без указания пределов:
Если F — первообразная f, и функция f определена на каком-либо интервале, тогда каждая последующая первообразная G отличается от F на константу: всегда существует число C, такое что G(x) = F(x) + C для всех x. Число C называют постоянной интегрирования.
Каждая непрерывная функция f имеет первообразную F, одна из которых представляется в виде интеграла от f с переменным верхним пределом:
Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например, с не непрерывна при , но имеет первообразную с .
Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены,экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:
Более развёрнутое изложение этих фактов см. в дифференциальной теории Галуа.