30 Интегрирование простейших дробей.

Задача нахождения неопределенного интеграла дробно рациональной функции сводится к интегрированию простейших дробей. Поэтому рекомендуем для начала ознакомиться с разделом теории разложение дроби на простейшие. Пример. Найти неопределенный интеграл  . Решение. Так как степень числителя подынтегральной функции равна степени знаменателя, то для начала выделяем целую часть, проводя деление столбиком многочлена на многочлен:    Поэтому,  . Разложение полученной правильной рациональной дроби   на простейшие дроби имеет вид  . Следовательно,    Полученный интеграл представляет собой интеграл простейшей дроби третьего типа. Забегая немного вперед, отметим, что взять его можно методом подведения под знак дифференциала. Так как  , то  . Поэтому    Следовательно,    Теперь перейдем к описанию методов интегрирования простейших дробей каждого из четырех типов.

Интегрирование простейших дробей первого типа

Для решения этой задачи идеально подходит метод непосредственного интегрирования:    Пример. Найти множество первообразных функции  Решение. Найдем неопределенный интеграл  , используя свойства первообразной, таблицу первообразных и правило интегрирования  .    К началу страницы 

Интегрирование простейших дробей второго типа

Для решения этой задачи также подходит метод непосредственного интегрирования: Пример. Найдите неопределенный интеграл  . Решение.   К началу страницы 

Интегрирование простейших дробей третьего типа

Для начала представляем неопределенный интеграл   в виде суммы:    Первый интеграл берем методом подведения под знак дифференциала:    Поэтому,    У полученного интеграла   преобразуем знаменатель:    Следовательно,    Формула интегрирования простейших дробей третьего типа принимает вид:    Пример. Найдите неопределенный интеграл  . Решение. Используем полученную формулу:    Если бы у нас не было этой формулы, то как бы мы поступили:    К началу страницы 

Интегрирование простейших дробей четвертого типа

Первый шаг – подводим под знак дифференциала:    Второй шаг – нахождение интеграла вида  . Интегралы подобного вида находятся с использованием рекуррентных формул. (Смотрите раздел интегрирование с использованием рекуррентных формул). Для нашего случая подходит следующая рекуррентная формула:    Пример. Найдите неопределенный интеграл  Решение.   Для данного вида подынтегральной функции используем метод подстановки. Введем новую переменную (смотрите раздел интегрирование иррациональных функций):    После подстановки имеем:    Пришли к нахождению интеграла дроби четвертого типа. В нашем случае имеем коэффициенты М = 0, р = 0, q = 1, N = 1 и n = 3. Применяем рекуррентную формулу:    После обратной замены   получаем результат:   

31 Интегрирование иррациональных функций

Интегралы от иррациональных функций в общем случае не выражаются в элементарных функциях. Ниже приводятся интегралы от некоторых иррациональных функций

где f и φ – целые функции (указание: применить подстановку  ).

В последующих формулах введено обозначение

(указание: для определения постоянных А₀, А₁, А₂, …, А_n-1, А дифференцируем обе части равенства и сравниваем коэффициенты):

32 Интегрирование тригонометрических выражений

1. Интегралы от произведений синуса и косинуса разных аргументов.

 sin mx cos nx dx,

 sin mx sin nx dx,

 cos mx cos nx dx.

Данные интегралы сводятся к табличным с помощью формул преобразования произведения в сумму:

sin  cos =1/2(sin(-)+sin(+)),

sin  sin =1/2(cos(-)-cos(+)),

cos  cos =1/2(cos(-)+cos(+)).

Пример. 

=

2. Интегралы от степеней  синуса  и  косинуса   одного аргумента.

 sin^m x cosⁿ x dx.

1) Если хотя бы одно из чисел m и  n нечетно, то от нечетной степени отделяют один сомножитель и вносят его под знак дифференциала. Подынтегральную функцию приводят к одной из тригонометрических функций.

Пример.  sin⁵x cos⁴x dx =  sin⁴x cos⁴x sin x dx =

= - (1-cos²x)²cos⁴x d(cosx) =  -cos⁴x d(cosx) + 2 cos⁶x d(cosx) -

- cos⁸x d(cosx) =  .

2) Обе степени четные. В этом случае применяют формулы понижения степени

,    ,    ,

до тех пор, пока не появятся нечетные степени тригонометрических функций.

 

3. Интегралы от рациональной функции, содержащей синус и косинус.

Рассмотрим интеграл вида

.

Этот интеграл рационализируется универсальной подстановкой

Пример. 

=

33 Определённый интеграл и его свойства

 — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых естьинтегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).