]История

Важный частный случай этой теоремы был доказан Лагранжем в 1771 году в связи с исследованиями разрешимости алгебраических уравнений врадикалах. Это было задолго до определения группы. Современная формулировка включает первоначальную формулировку теоремы Лагранжа как пример.

16. Теорема Коши о среднем значении

Теорема Коши́ о среднем значении.

Пусть даны две функции   и   такие, что:  и   определены и непрерывны на отрезке  ; производные   и   конечны на интервале  ; производные   и   не обращаются в нуль одновременно на интервале  ; тогда , где  (Если убрать условие 4, то необходимо усилить условие 3: g'(x) не должна обращаться в нуль нигде в интервале  .)

Геометрически это можно переформулировать так: если   и   задают закон движения на плоскости (то есть определяют абсциссу и ординату через параметр  ), то на любом отрезке такой кривой, заданном параметрами   и  , найдётся касательный вектор, коллинеарный вектору перемещения от   до  .

]Доказательство

Для доказательства введём функцию

Для неё выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка её значения равны  . Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка  , в которой производная функции   равна нулю, а   равна как раз необходимому числу.

17. Правило Лопиталя

Правило Бернулли^[1]-Лопита́ля — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида   и  . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

]Точная формулировка

Условия:

1.  или  ;

2.  и   дифференцируемы в проколотой окрестности  ;

3.  в проколотой окрестности  ;

4. существует  ,

тогда существует  .

Пределы также могут быть односторонними.

]История

Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован в учебнике «Analyse des Infiniment Petits» 1696 года за авторством Гийома Лопиталя. Метод был сообщён Лопиталю в письме его первооткрывателем Иоганном Бернулли.^[2]

[Доказательство

]Отношение бесконечно малых

Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (то есть неопределённость вида  .

Поскольку мы рассматриваем функции   и   только в правой проколотой полуокрестности точки  , мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть  . Возьмём некоторый   из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку   теорему Коши. По этой теореме получим:

,

но  , поэтому  .

Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через  , из полученного равенства выводим:

 для конечного предела и

 для бесконечного,

что является определением предела отношения функций.

]Отношение бесконечно больших

Докажем теорему для неопределённостей вида  .

Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен  . Тогда, при стремлении   к   справа, это отношение можно записать как  , где   — O(1). Запишем это условие:

.

Зафиксируем   из отрезка   и применим теорему Коши ко всем   из отрезка  :

, что можно привести к следующему виду:

.

Для  , достаточно близких к  , выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как   и   — константы, а   и   стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен  , где   — бесконечно малая функция при стремлении   к   справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение  , что и в определении для  :

.

Получили, что отношение функций представимо в виде  , и  . По любому данному   можно найти такое  , чтобы модуль разности отношения функций и   был меньше  , значит, предел отношения функций действительно равен  .

Если же предел   бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то

.

В определении   будем брать  ; первый множитель правой части будет больше 1/2 при  , достаточно близких к  , а тогда  .

Для других баз доказательства аналогичны приведённым.