5 Непрерывность дифференцируемой функции

Теорема 1. Пусть функция y = f(x) дифференцируема на интервале (a, b). Тогда функция f непрерывна на (a, b).

Доказательство

Возьмем произвольное фиксированное число x (a,b).

По условию теоремы

Следовательно, в малой окрестности числа x₀ можно определить функцию α = α(Δx), стремящуюся к нулю при такую, что

Но тогда и, следовательно, функция f непрерывна при x = x₀. Так как число x₀ – произвольное, то функция f непрерывна на всем интервале (a, b).

Теорема доказана.

Из доказанной теоремы непосредственно вытекает, что в точках разрыва функция не может быть дифференцируемой.

Однако из непрерывности функции на интервале (a, b) не следует дифферецируемость функции в каждой точке интервала (a, b). Например, функция непрерывна на всей числовой прямой, но эта функция недифференцируема при x = 0. В самом деле, предел (1) не зависит от знака приращения аргумента Δx. Для функции же имеем, если x = 0 придать приращение Δx > 0, то Δy = Δx, а если Δx < 0, то Δy = − Δx. Таким образом,

Следовательно, функция недифференцируема при x = 0.

6 Дифференциал функции. Геометрический смысл Понятие дифференциала

Пусть функция y = f(x) дифференцируема при некотором значении переменной x . Следовательно, в точке x существует конечная производная

Тогда по определению предела функции разность

                            (1)

является бесконечно малой величиной при . Выразив из равенства (1) приращение функции, получим

                    (2)

(величина  не зависит от , т. е. остаётся постоянной при ).

Если , то в правой части равенства (2) первое слагаемое линейно относительно . Поэтому при

оно является бесконечно малой того же порядка малости, что и . Второе слагаемое - бесконечно малая более высокого порядка малости, чем первое, так как их отношение  стремится к нулю при

Поэтому говорят, что первое слагаемое формулы (2) является главной, линейной относительно частью приращения функции; чем меньше , тем большую долю приращения составляет эта часть. Поэтому при малых значениях (и при ) приращение функции можно приближенно заменить его главной частью , т.е.

                (3)

Эту главную часть приращения функции называют дифференциалом данной функции в точке x и обозначают

или

Следовательно,

                   (4)

или

             (5)

Итак, дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной.

Замечание. Нужно помнить, что если x – исходное значение аргумента,

- наращенное значение, то производная в выражении дифференциала берётся в исходной точке x ; в формуле (5) это видно из записи, в формуле (4) – нет.

Дифференциал функции можно записать в другой форме:

                      (6) или

Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции y = f(x) равен приращению ординаты касательной, проведённой к графику этой функции в точке (x; y), при изменении xна величину .

7 Дифференцируемость суммы, произведения, частного

Пусть функции f(x) и g(x) дифференциемы в точке x₀, тогда

1) функция C₁f(x)+C₂g(x), где C₁ и C₂ - постояные числа,

2) функция f(x)g(x) дифференцируемы в точке x₀ ,

3) если g(x₀) не равна нулю, то и функция f(x)/g(x) дифференцируема в точке x₀, причем в этой точке выполняются следующие равенства: