Определение
Пусть
определена
на
.
Разобьём
на
части с несколькими произвольными
точками 
Тогда
говорят, что произведено
разбиение 
отрезка 
Далее
выберем произв. точку 
, 
,
Определённым
интегралом от функции
на
отрезке
называется
предел интегральных сумм при стремлении
ранга разбиения к нулю 
,
если он существует независимо от
разбиения
и
выбора точек 
,
т.е.
Если существует указанный предел, то функция называется интегрируемой на по Рима
Обозначения
– нижний предел.
– верхний предел.
– подынтегральная функция.
-
длина частичного отрезка.
–
интегральная
сумма от функции
на
соответствующей
разбиению
.- максимальная длина част. отрезка.
Свойства
Если функция интегрируема по Риману, то она ограничена на нем.
I.
Величина определенного интеграла не
зависит от обозначения переменной
интегрирования, т.е. 
,
где х, t – любые буквы.
II. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.
III. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.
IV. Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутке [a,b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам.
V. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.
VI. Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.
Геометрический смысл
Определённый интеграл как площадь фигуры
Определённый
интеграл 
численно
равен площади фигуры, ограниченной осью
абсцисс, прямыми 
и 
и
графиком функции
.
34 Понятие определенного интеграла
Пусть
на [а, b] задана функция у =
(х).
Аналогично пункту 17.1.1 разобьем [а, b] на
п частей
выберем
произ-
вольные
точки
и
составим сумму
(17.1)
которая называется интегральной суммой.
О:
Определенным интегралом (о. и.) от
функции
(х)
на [а,b] называется предел ее интегральной
суммы (17.1) при
если
этот предел существует, конечен и не
зависит от способа разбиения [а,b] на
отрезки
и
от выбора
Обозначение:
Числа
а и b называют нижним и верхним пределами
интегрирования,
(х)
— подынтегральной функцией. Если для
(х)
на [а,b] выполнены условия определения
о.и., то
(х)
называют интегрируемой (по Риману) на
[а,b].
Т.
существования: Если
то
она интегрируема на [а,b]
Доказательство см. в [1. С. 259].
Из
определения о.и. следует, что интеграл
зависит от вида
(х),
пределов а, b, но не зависит от того, какой
буквой обозначена переменная х, т.е.
Из
п. 17.1.1 и 17.1.2 и определения о.и. получаем
формулы площади криволинейной
трапеции:
работы
силы 
35 Условия интегрируемости функции
Необходимое условие интегрируемости. Теорема. Если функция интегрируема на отрезке, то она ограничена на нем. Доказательство. (от противного) Интегрируемая на [a,b] функция f не ограничена и зафиксируем некоторое разбиение τ={xi}i=ki=0. В силу неограниченности f на [a,b] она будет по крайней мере неограниченной на одном отрезке разбиения τ, например, на [x0,x1], тогда на этом отрезке существует последовательность ξ1n∈[x0,x1],n=1,∞ такая, что limn→∞ξ1n=∞,limn→∞f(ξ1n)=∞(1.1). Зафиксируем точки ξi∈[xi−1,xi],i=2,k, тогда сумма ∑ki=2f(ξi)Δxiбудет иметь вполне определенное значение, поэтому в силу (1.1): limn→∞στ(f,ξ,1...,ξ)k=limn→∞(f(ξ1n)Δx1+∑ki=2f(ξi)Δxi)=∞ и значит каково бы ни было М>0 всегда можно подобрать номер n0, что если на первом отрезке [x0,x1] взять точку ξ1n0получим: ∣ ∣ στ(f,ξ1n0,ξ2,...,ξk)∣ ∣ >M, => суммы στ не могут стремиться к конечному пределу при мелкости разбиенияδτ=∣τ∣→0. Действительно, если бы существовал конечный предел lim∣τ∣→0στ=A, то для любого ε>0нашлось бы такое δ(ε)>0, что для разбиения τ={xi}i=ki=0 отрезка [a,b] мелкости ∣τ∣<δ(ε) при любом выборе точек ξi∈[xi−1,xi],i=1,k, ∣στ−A∣<ε и =>∣στ∣=∣(στ−A)+A∣≤∣στ−A∣+∣A∣<ε+∣A∣. В случае неограниченности функции f для любого разбиения τ (в т.ч. и для такого, что∣τ∣<δ(ε)) при любом фиксированном ε>0 можно так выбрать ξi, что выполняется неравенство ∣στ∣>∣A∣+ε. Это противоречие доказывает теорему. Ч.и.т.д. Условие ограниченности функции f необходимое, но НЕ является достаточным. Например, для функции Дирихле: D(x) на [0,1]. Она ограничена, но не интегрируема, т.к. для любого разбиения интегрируемые суммы στ стремятся к 1 если выбрать ξi рациональными, и к 0 если иррациональными, то есть не стремятся ни к какому пределу.