28. Интегрирование по частям

Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:

В частности, с помощью n-кратного применения этой формулы находится интеграл

где   — многочлен  -ой степени.

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для неопределённого интеграла:

для определённого:

Предполагается, что нахождение интеграла   проще, чем  . В противном случае применение метода неоправдано.

]Получение формул ]Для неопределённого интеграла

Функции   и   гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:

Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:

Операция интегрирования обратна дифференцированию:

После перестановок:

Не стоит, однако, забывать, что это равенство подразумевается в смысле равенства множеств, то есть, грубо говоря, с точностью до константы, возникающей во время интегрирования.

Типичную ошибку «потери» константы при обращении с неопределенным интегралом иллюстрирует следующий пример-софизм:

Отсюда «следствие»:  , что очевидно неверно.

]Для определённого интеграла

В целом аналогично случаю неопределённого интеграла:

]Примеры

• 

• 

• Иногда этот метод применяется несколько раз:

• Данный метод также используется для нахождения интегралов от элементарных функций:

• В некоторых случаях интегрирование по частям не даёт прямого ответа:

Таким образом один интеграл выражается через другой:

Решив полученную систему, получаем:

29. Интегрирование рациональных функций

Функция называется рациональной, если ее можно представить в виде отношения двух многочленов. Например, если R(x) — рациональная функция одной переменной x, то

R(x)   =    am xm + am − 1 xm − 1 + … + a1 x + a0 bn xn + bn − 1 xn − 1 + … + b1 x + b0    ≡    Pm(x) Qn(x)   .

Здесь, как обычно, индексы у   P_m(x)   и   Q_n(x)   указывают степени этих многочленов .

Многочлены являются рациональными функциями (у них знаменатели тождественно равны единице). Если рациональная функция не является многочленом, то она называется дробной .

Рациональная функция называется правильной, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе и неправильной, если степень многочлена в числителе больше либо равна степени многочлена в знаменателе .

Неправильная рациональная функция представима в виде

Pm Qn    =   Lm − n   +    Us Qn                  (s < n),

где L_m − n — многочлен степени (m − n) , называемый целой частью рациональной функции. Он находится путем деления многочлена P_m на Q_n . Многочлен U_s — остаток при этом делении.

При интегрировании рациональных функций используется следующая теорема о разложении рациональной функции:

Теорема Правильную рациональную функцию одной переменной x можно единственным образом представить в виде суммы элементарных дробей

A (x − a)k  ,          Mx + N (x2 + 2px + q)k         (p2 − q < 0),

где A , M , N , a , p , q — действительные числа и k — натуральные числа.

В этой сумме каждому действительному нулю a кратности k знаменателя Q_n(x) соответствуют k слагаемых

A1 x − a    +    A2 (x − a)2    +   …   +    Ak (x − a)k  .

Каждой паре комплексно сопряженных нулей кратности k знаменателя Q_n(x) (являющихся нулями квадратного трехчлена x² + 2px + q ) соответствуют k слагаемых

M1x + N1 x2 + 2px + q    +    M2x + N2 (x2 + 2px + q)2    +   …   +    Mlx + Nl (x2 + 2px + q)l  .

Представление правильной рациональной функции в виде суммы элементарных дробей называется разложением на элементарные дроби.

Коэффициенты элементарных дробей, фигурирующих в разложении, однозначно определяются условием тождественности правильной рациональной функции и ее разложения.

Алгоритм интегрирования рациональной функции R(x)

1. Выделяем целую часть, если функция R(x) неправильная.

2. Находим нули знаменателя функции R(x).

3. Разлагаем знаменатель функции R(x) на линейные множители, соответствующие действительным нулям и квадратные трехчлены, соответствующие парам комплексно сопряженных нулей знаменателя.

4. Разлагаем правильную часть функции R(x) на сумму элементарных дробей.

5. Интегрируем целую часть (если она есть) и элементарные дроби.

6. Складываем полученные интегралы