27.Гироскопы и гироскопические силы. Нутация и прецессия.

Гироскопом называется любое тяжелое симметричное тело, вращающееся около оси симметрии. Примеры(велосипедное колесо; вал турбины; винт самолета). Гироскопическими свойствами обладают также элементарные частицы, например, электроны в атоме. Благодаря быстрому вращению, гироскоп обладает следующими интересными свойствами: стремится сохранить неизменным положение оси вращения в пространстве; устойчив к ударным воздействиям; безинерционен; необычным образом реагирует на действие внешней силы. Попытка повернуть гироскоп относительно одной оси вызывает его вращение относительно другой – ей перпендикулярной. Рассмотрим гироскоп в особой оправе, называемой "карданов подвес". В данном случае он представляет собой тяжелое дискообразное тело, способное вращаться с малым трением вокруг закрепленного центра масс. Оправа состоит из двух колец: внутреннего и наружного. Ось вращения гироскопа проходит через его центр масс и закреплена в подшипниках, расположенных во внутреннем кольце. Само внутреннее кольцо может вращаться вокруг горизонтальной оси, опирающейся на подшипники, укрепленные на внешнем кольце. Внешнее кольцо может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через торцевой подшипник подставки (см. рис. 9.6). Силы трения в подшипниках малы. Кольца и диск симметричны относительно своих осей и поэтому гироскоп остается в равновесии в любом положении. В данном случае гироскоп можно рассматривать, как симметричное твердое тело, закрепленное в центре масс. Ось гироскопа может занимать любое положение в пространстве. Свободный гироскоп может повернуться вокруг трех взаимно перпендикулярных осей, следовательно, он обладает тремя степенями свободы. В случае блокировки поворота вокруг одной из осей гироскоп обладает двумя степенями свободы и называется несвободным гироскопом. Прецессией называется движение по окружности конца оси гироскопа под действием постоянно действующей малой силы. Вычислим угловую скорость прецессии гироскопа wп, ось которого смещена относительно горизонтальной плоскости на угол j . Прецессия обусловлена действием внешней силы F, создающей момент M.

wп = da/dt;

da = dL/(L·cos(f)) = M·dt/(L·cos(f));

wп = M/(L·cos(f)) = M/(I·w·cos(f)),

где L·cos(f) - проекция момента импульса на плоскость, в которой происходит вращение конца оси гироскопа и располагаются вектора dL. Скорость прецессии гироскопа определяется величиной внешней силы F, точкой ее приложения, угловой скоростью вращения диска гироскопа w и его моментом инерции I. Направление прецессии зависит от направления действующей силы и направления вращения диска. Пример. Прецессия волчка. В качестве внешней силы на волчок действует сила тяжести m·g, приложенная к его центру масс. Волчок вращается вокруг оси, составляющей некоторый угол с вертикалью. Скорость прецессии равна:

wп = M/L = m·g·l·sin(g)/(L·sin(g)) = m·g·l/(I·w),

где l - расстояние от точки вращения до центра масс,

g - угол между направлением действия силы тяжести и момента импульса волчка.

Нутация (от лат. nutatio — колебание), происходящее одновременно с прецессией движение твёрдого тела, при котором изменяется угол между осью собственного вращения тела и осью, вокруг которой происходит прецессия; этот угол называется углом Н. (см. Эйлеровы углы). У гироскопа (волчка) движущегося под действием силы тяжести Р (рис. 1), Н. представляет собой колебания оси гироскопа, амплитуда и период которых тем меньше, а частота тем больше, чем больше угловая скорость собственного вращения W. При больших W амплитуда q1 — q0 и период t Н. приближённо равны:

, , где q0 и q1 — пределы изменения угла q, а — расстояние от неподвижной точки до центра тяжести, I — момент инерции гироскопа относительно его оси симметрии, J — момент инерции относительно оси, перпендикулярной к оси симметрии и проходящей через неподвижную точку. Под Н. гироскопической системы (механические системы, содержащей гироскопы) понимают то периодическое изменение углов, определяющих положение системы, которое происходит с малыми амплитудами и большими частотами. Из-за наличия сопротивлений (трения) нутационные колебания довольно быстро затухают, после чего гироскоп (или гироскопическая система) совершает чисто прецессионное движение.