32) Разложение плоского движения на поступательное движение вместе с полюсом и вращательное вокруг оси, проходящей через полюс.

Основными видами движения плоской фигуры в ее плоскости являются поступательное и вращательное. Поступательным движением плоской фигуры будет такое движение, при котором любая прямая, взятая в плоскости движущейся фигуры, перемещается параллельно самой себе. Из этого определения следует, так же как и в случае твердого тела ,что все точки фигуры (подвижной плоскости) в этом случае имеют равные

скорости и ускорения и описывают конгруэнтные траектории.

Вращательным движением фигуры в ее плоскости будет такое движение, при котором одна точка фигуры, называемая центром вращения, остается неподвижной. В этом движении все точки фигуры движутся по концентрическим окружностям, имеющим центр

в центре вращения , причем скорости и ускорения точек пропорциональны их расстоянию до центра вращения, которое называется радиусом вращения, т. е.

Положение плоской фигуры может быть задано положением двух ее точек О' и М или положением отрезка О'М (рис. 149).

Пусть фигура О'М переместилась из положения I в положение II. Разобьем переход на две части. Сначала переместим фигуру поступательно в положение I', причем все точки ее по-

лучат перемещения, геометрически равные перемещению О'О₁ полюса О', а затем повернем фигуру на < M'O₁M₁ вокруг оси, проходящей через точку О₁ перпендикулярно к плоскости фигуры.

Заметим, что вектор поступательного перемещения зависит от выбора полюса (основной точки), а угол поворота не зависит от этого выбора. В самом деле, тот же переход из положения I в положение II можно осуществить, приняв за полюс точку М и переместив сначала фигуру в положение II'' (рис. 150), причем все точки фигуры получат перемещения, геометрически равные ММ₁ и отличные от O'O₁, а затем повернув

фигуру на < O''M₁O₁ вокруг оси, проходящей через М₁. Но по свойству поступательного перемещения О"М₁ параллелен О'М и точно так же O₁M' параллелен О'М. Следовательно, О"М₁ и О1М' параллельны между собой и <O''M₁O₁ = < M'O₁M₁. Вместе с тем поворот вокруг точек О₁ и М₁ в том и другом случае происходит в одну и ту же сторону (на нашем рисунке по часовой стрелке).

Окончательное положение фигуры не зависит от того, будет ли сначала совершаться поступательное перемещение или поворот.

Таким образом, приходим к выводу: всякое перемещение плоской фигуры в своей плоскости, а следовательно, и всякое плоское перемещение твердого тела можно себе представить как совокупность двух перемещений: 1) поступательного перемещения, зависящего от выбора полюса, и 2) вращательного перемещения вокруг полюса; угол и направление поворота от выбора полюса не зависят.

33)Теорема об ускорении точек плоской фигуры и её следствие

Скорость любой точки М плоской фигуры: V_M=V_A+(ω*r), где r=vector AM- радиус-вектор, проведённый из полюса А в точку М. дифференцируя обе части этого равенства по времени, получим dV_M/dt=dV_A/dt+(dω/dt*r)+(ω*dr/dt). Величина dω/dr=Ɛ есть вектор углового ускорения фигуры, направленный (как и ω) перпендикулярно к плоскости фигуры. Кроме того, dr/dt=ω*r. Тогда, учитывая, что ω перпендикулярен r и ω*r=0, будем иметь:ω*dr/dt=ω*(ω*r)=ω(ω·r)-r(ω·ω)=-ω²r→ω_M= ω_A+(Ɛ*r)-ω²r. ω_M=ω_A +ω_MA^BP +ω_MA^ЦС или ω_M=ω_A +ω_MA , где ω_MA= ω_MA^BP +ω_MA^ЦС. Таким образом, ускорение любой точки плоской фигуры складывается геометрически из ускорения полюса и ускорения, которое точка получает при вращении фигуры вокруг полюса. Так как Ɛ перпендикулярен r и r=AM, то численно ω_MA^BP=AM·Ɛ, ω_MA^ЦС=AM·ω²,

Полученные результаты позволяют построить вектор ω_M.