2 Расчетно-проектировочная работа (рпр) № 6 «Устойчивость сжатых стержней»

При выполнении РПР № 6 необходимо решить 2 задачи: в задаче № 1 требуется сделать проверку на устойчивость сжатого стержня заданного поперечного сечения с определением коэффициента запаса устойчивости; в задаче № 2 – выполнить проектный расчет, т.е. рассчитать размеры сечения сжатого стержня из условия его устойчивости.

З А Д А Ч А № 1

Дано: тип и размеры сечения (см. рисунок);

м; схема закрепления стержня (см. рисунок);

Материал – сталь 3 ( МПа, МПа, МПа)

Определить критическую силу, допускаемую величину сжимающей силы и коэффициент запаса устойчивости.

Р е ш е н и е:

1. Определяется положение центра тяжести сечения. В данном примере вертикальная ось является осью симметрии сечения, поэтому центр тяжести находится на этой оси. Для определения ординаты центра тяжести сечения выбирается вспомогательная ось ; тогда, разбивая сечение на два прямоугольника, получаем:

где - статический момент сечения относительно вспомогательной оси ;

- площадь сечения;

и - ординаты центров тяжестей прямоугольников, составляющих данное сечение.

Вычисляются главные центральные моменты инерции и сечения как сумма моментов инерции двух прямоугольников:

.

При этом = и = , так как оси , и совпадают.

где - расстояние между осями и ;

- расстояние между осями и .

При этом и , так как оси , и не совпадают.

Таким образом, получено . Так как потеря устойчивости сжатого стержня происходит в плоскости наименьшей жесткости, то при расчете используется меньшее значение момента инерции, т.е. .

2. Вычисляется гибкость сжатого стержня:

,

где - коэффициент приведенной длины: для заданной схемы закрепления стержня ;

- минимальный радиус инерции сечения.

Вычисляется предельное значение гибкости стержня:

Таким образом, гибкость стержня больше ее предельного значения

3. Определяются значения критической силы и критического напряжения.

Критическая сила вычисляется по формуле Эйлера, так как :

При таком значении сжимающей силы стержень может потерять устойчивость, т.е. изогнуться (изогнутый стержень показан на рисунке штриховой линией).

Критическое напряжение равно:

Примечание: Если получается, что гибкость стержня меньше ее предельного значения , то расчет выполняется по формуле Ясинского Ф.С. Сначала определяется критическое напряжение по формуле:

,

где и - постоянные, зависящие от материала.

Так, например, для стали 3

Затем определяется критическая сила:

4. Определяется по таблице коэффициент уменьшения допускаемого напряжения на сжатие , зависящий от материала и гибкости стержня (см.таблицу на стр. 17). Для определения значения коэффициента , соответствующего полученной гибкости стержня , выполняется интерполяция табличных значений коэффициента. Рассмотрим некоторую часть таблицы значений коэффициента , взятую для значений гибкости , близких к , то-есть для и (материал – Сталь 3).

Гибкость	Коэффициент
	Сталь 3
:	:
:	:
170	0,26
180	0,23
187,5	?
190	0,21
200	0,19

Так, если взять за начало отсчета значение (соответствующее ), то коэффициент , соответствующий , будет равен:

Или , если взять за начало отсчета значение (соответствующее ), то искомый коэффициент равен:

,

то-есть в обоих случаях получаются одинаковые значения .

5. Вычисляются допускаемые значения напряжения и сжимающего усилия из условия устойчивости:

Вычисляется коэффициент запаса устойчивости (stability – устойчивость).

Ответ: .

Если данный стержень сжать силой , то будет обеспечен коэффициент запаса устойчивости .

Таблица значений коэффициента

Гибкость	Значения для				Гибкость	Значения для
	стали марок 3 и 4	стали марки 5	чугуна	дерева		стали марок 3 и 4	стали марки 5	дерева
0	1,0	1,0	1,0	1,0	110	0,52	0,43	0,25
10	0,99	0,98	0,97	0,99	120	0,45	0,37	0,22
20	0,97	0,96	0,91	0,97	130	0,40	0,32	0,18
30	0,95	0,93	0,81	0,93	140	0,36	0,28	0,16
40	0,92	0,89	0,69	0,87	150	0,32	0,25	0,14
50	0,89	0,85	0,57	0,80	160	0,29	0,23	0,12
60	0,86	0,80	0,44	0,71	170	0,26	0,21	0,11
70	0,81	0,74	0,34	0.60	180	0,23	0,19	0,10
80	0,75	0,67	0,26	0,48	190	0,21	0,17	0,09
90	0,69	0,59	0,20	0,38	200	0,19	0,16	0,08
100	0,60	0,50	0,16	0,31

З А Д А Ч А № 2

Дано: ;

Схема закрепления стержня (см.рисунок);

сечение прямоугольное ( );

материал – древесина:

.

Рассчитать размеры сечения и из условия устойчивости стержня.

Р Е Ш Е Н И Е

Для удобства вычислений выразим величины, которые будут использоваться при расчете, через один и тот же параметр – например, ширину сечения .

Площадь сечения ;

отсюда ;

Главные центральные моменты инерции сечения:

;

.

Отсюда следует, что , то-есть

Минимальный радиус инерции сечения:

Гибкость стержня:

;

где - коэффициент приведения длины; для заданного способа закрепления стержня .

Расчетная формула (условие устойчивости) имеет вид: ,

где - коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения на сжатие.

Отсюда требуемая площадь сечения равна: ;

В этой формуле 2 неизвестных ( и ), и задача решается путем последовательных приближений. Вначале задается произвольное значение .

1. Пусть

Тогда

Теперь по таблице определяется коэффициент с применением метода интерполяции. Рассмотрим часть таблицы (стр.17) значений коэффициента , взятую для значений гибкости , близких к , то-есть для и (материал – древесина). Беря, например, за начало отсчета значение ,

соответствующее , получим для :

.

	Коэффициент
	Древесина
:	:
:	:
40	0,87
50	0,80
60	0,71
70	0,60
:	:

Для оценки полученного результата сравниваются допускаемые напряжения из условия устойчивости и действующие (фактические) напряжения.

Допускаемое напряжение из условия устойчивости:

Действующее (фактическое) напряжение:

Таким образом, получено в 1,56 раза, т.е. сечение недогружено.

2. Значение коэффициента берется как среднее арифметическое значение между заданным и полученным из таблицы .

Теперь расчет повторяется в порядке, показанном при выполнении п.1.

По таблице методом интерполяции определяется :

Допускаемое напряжение из условия устойчивости:

Действующее (фактическое) напряжение:

.

Получено в 1,13 раза, т.е. на 13 %, значит расчет необходимо продолжить (допускаемая разница равна ).

3. Значение коэффициента берется как среднее арифметическое значение между и :

Расчет снова повторяется в порядке, показанном при выполнении п.п.1 и 2.

Полученное значение округляется до

Тогда

По таблице методом интерполяции определяется

Допускаемое напряжение из условия устойчивости:

Действующее (фактическое) напряжение:

Получено в 1,014 раза, т.е. на 1,4 %. Таким образом, можно считать, что , и расчет на этом заканчивается.

Ответ:

З А Д А Ч А № 2-а

Дано: ;

Схема закрепления стержня (см.рисунок);

сечение двутавровое; материал – сталь Ст.3

.

Определить требуемый номер двутавра из условия устойчивости стержня.

Р Е Ш Е Н И Е:

Требуемая площадь сечения определяется по формуле, использованной ранее при решении задачи № 2:

;

Задача решается путем последовательных приближений. Вначале задается произвольное значение .

1. Пусть

Тогда .

Согласно таблице ГОСТ 8239-89 принимаем двутавр № 60, у которого площадь сечения ; минимальный радиус инерции сечения

Гибкость стержня при этом равна:

,

где - коэффициент приведения длины; для заданного способа закрепления стержня .

По таблице определяется коэффициент ( для гибкости и материал – сталь Ст.3).

Теперь сравниваются допускаемые напряжения из условия устойчивости и действующие (фактические) напряжения.

Допускаемые напряжения из условия устойчивости:

Действующее (фактическое) напряжение:

Таким образом, получено , в 1,1 раза то-есть устойчивость стержня не обеспечивается (перегрузка составляет 10 %).

2. Так как в результате выполненного по п.1 расчета значения допускаемых напряжений и действующих напряжений отличаются незначительно (на 10 %), то можно взять из таблицы ГОСТ 8239-89 следующий по порядку номер двутавра (больший номер), и проверку условия устойчивости повторить по вышеуказанной методике.

Принимаем двутавр № 65, у которого ; .

Тогда

По таблице определяется коэффициент .

Допускаемое напряжение из условия устойчивости:

Действующее (фактическое) напряжение:

Получено в 1,13 раза, то-есть стержень недогружен на 13 %. Однако, этот результат расчета необходимо принять, так как при ближайшем меньшем номере двутавра (№60), как показано при выполнении

п. 1, устойчивость стержня не обеспечивается.

Ответ: двутавр № 65.