1.5 Эмпирические формулы для определения критических напряжений

Стержни с гибкостью меньше очень часто встречаются в машинах и инженерных сооружениях. Поэтому необходимо и такие стержни уметь рассчитывать на устойчивость. Существуют приближенные теоретические методы решения задачи, но эти методы в силу своей сложности мало пригодны для практики.

В этих случаях значительно большее применение имеют эмпирические формулы различных авторов, полученные на основе большого экспериментального материала. Так, например, профессор Ф.Ясинский собрал и обработал обширный опытный материал по устойчивости стержней, в результате чего предложил простую эмпирическую формулу для вычисления критических напряжений за пределом пропорциональности:

, (1.14)

где a и b - коэффициенты, зависящие от материала. Например, для стали Ст.3 при коэффициенты a=310 МПа, b=1,14 МПа; для древесины (сосна) при коэффициенты a=29,3 МПа, b=0,194 МПа; для чугуна при коэффициенты a=776 МПа, b=12,0 МПа; и т.д.

Для чугуна рекомендуется пользоваться параболической зависимостью:

, (1.15)

где с=0,53.

Стержни, у которых гибкость очень незначительна ( ), называют стержнями малой гибкости. Их рассчитывают только на прочность, используя условие прочности при сжатии, без учета опасности возникновения потери устойчивости. Например, для стальных стержней можно принять .

Таким образом, применение формул Эйлера и Ясинского позволяет решать задачи устойчивости сжатых стержней на всем интервале гибкостей , которые встречаются на практике.

1.6 Расчеты на устойчивость по коэффициенту снижения основного допускаемого напряжения

Вместо двух формул (Эйлера и Ясинского), каждая из которых пригодна для определенного диапазона гибкостей, удобнее иметь одну формулу, которой можно было бы пользоваться при любой гибкости стержня. В настоящее время широким распространением пользуется метод расчета по коэффициенту снижения основного допускаемого напряжения.

Расчет сжатых стержней на устойчивость можно по форме привести к расчету на простое сжатие, принимая в качестве допускаемого некоторую часть от критического напряжения:

, (1.16)

где - допускаемое напряжение на устойчивость;

- коэффициент запаса устойчивости.

Обычно выражают через основное допускаемое напряжение на сжатие для данного материала:

, (1.17)

где - коэффициент снижения основного допускаемого напряжения на сжатие.

Основное допускаемое напряжение на сжатие равно:

, (1.18)

где - коэффициент запаса прочности;

- предельное напряжение, принимаемое равным пределу текучести для пластичных материалов и пределу прочности для хрупких материалов.

Связь между коэффициентом , критическим напряжением , предельным напряжением и коэффициентами запаса прочности и устойчивости можно установить следующим образом:

, откуда .

Теперь, используя формулу (1.18), получим:

. (1.19)

Из формулы (1.19) следует, что коэффициент всегда меньше единицы так как всегда меньше значений или а значение коэффициента запаса устойчивости принимают несколько выше значения

Величина коэффициента , как видно из формулы (1.19), зависит от материала стержня и от его гибкости. Значения коэффициента для некоторых материалов при различной гибкости приведены в таблице 1.1. Таблица дана в сокращенном виде: обычно данные приводятся через каждые 10 единиц величины гибкости , (см. таблицу на стр. 17) а если требуется определять какие-то промежуточные значения, то используют известный из математики метод линейной интерполяции.

Таблица 1.1 Значения коэффициента снижения основного допускаемого напряжения

Гибкость	Значения для материалов
	Сталь	Чугун	Дерево	Бетон	Железо- бетон	Каменная кладка
0	1	1	1	1	1	1
10	0,99	0,97	0,99	0,99	0,99	0,99
100	0,60	0,16	0,31	0,45	0,52	0,47
150	0,32	-	0,14	-	-	0,28
200	0,19	-	0,08	-	-	-

Решение задачи по расчету сжатых стержней на устойчивость по коэффициенту проводят следующим образом.

Если даны размеры поперечного сечения, длина и способы закрепления его концов, задача сводится к определению допускаемой нагрузки из условия устойчивости стержня. При этом:

а) по форме и размерам поперечного сечения находится ;

б) определяется гибкость, которой обладает данный стержень ;

в) по таблице 1.1, зная материал, находится коэффициент ;

г) зная или задавшись допускаемым напряжением на простое сжатие, определяется допускаемая нагрузка на стержень

.

Если даны форма поперечного сечения, длина стержня, способы его закрепления и приложенная сжимающая сила, необходимо подобрать сечение стержня из условия устойчивости. Задача решается в следующей последовательности:

а) в первом приближении выбирается произвольное значение , так как гибкость неизвестна, ибо неизвестна площадь сечения , а гибкость зависит от нее (в качестве первого приближения рекомендуется принимать = 0,4…0,6);

б) зная , по известной нагрузке и определяется площадь сечения

;

в) по известной форме сечения находится и гибкость ;

г) из таблицы 1.1 по этой гибкости и материалу стержня определяется соответствующее значение . Если получается большая разница между значениями и , то следует повторить расчет (выполнить второе приближение), задавшись новым значением и т.д. Расчет выполняется до тех пор, пока разница между последовательными значениями не будет превышать 4…6%.

Отметим, что при составлении таблиц коэффициентов предусмотрено получение при расчетах значений коэффициентов запаса устойчивости, равных: .