Функции. Предел функции. Непрерывность функции.

Точка x₀ наз. предельной точкой множества A, если в любой окружности этой точки найдутся точки множества ≠ 0. Из состава точек множества A можно выделить посл-ть точек {x_n}, сходящихся к x_0.

Множество A наз. замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки и открытым, если оно целиком состоит из внутренних точек.

Предел функции по Коши.

Пределом по Коши ф-ии y=f(x) в предельной точке x₀ наз. число A, если для любого как угодно малого положительного числа E найдется _E>0, зависящее от E, такое, что для всех x из проколотой E-окрестности выполняется неравенство |f(x)-a| < E

lim _x→∞f(x) = a  ∀E>0 ∃_E>0 ∀x|x-x₀|<_E (x∈( x₀-E; x₀)∪( x₀ ; x₀+E) = Oe (x₀) |f(x)-a| < E

Предел функции по Гейне

Число a наз. пределом ф-ии y=f(x) по Гейне при x→x₀, где x₀ – предельная точка, если для любой посл-ти точек из области определения ф-ии, сходящихся к x₀ соответствует посл-ть значений ф-ии, сходящ. к числу a.

lim _x→x0f(x) = a  ∀{x_n} ∈ D(f(x)), {f(x_n)} ^∞_n=1 ⇒ a

То, что предел ф-ии y=f(x) при x→ y=f(x) в предельной точке X₀ x₀

_{-------пропуск---------------}

Непрерывность функции.

Ф-ия y=f(x) непрерывна в точке x₀, если выполняется 3 условия:

1. она определена в этой точке, т.е. x₀ ∈ D(f(x))

2. она имеет конечный предел в этой точке, т.е. lim _x→x0f(x) = a < ∞

3. данный предел равен значению ф-ии в этой точке, т.е. a=f(x₀)

y=f(x) непрерывна в точке x₀ (x₀∈ D(f(x)) ∀E>0 ∃_E>0 |f(x)-f(x₀)| < E

Предположим, что ф-ия y=f(x) ограничена в т. x₀ и аргументу x дадим некоторое приращение Δx. При этом ф-ия получает приращение Δf(x), кот. определяется как разность = f(x₀+Δx) – f(x₀) и наз. приращением ф-ии соответствующим приращению аргумента Δx.

Ф-ия y=f(x) непрерывна в точке x₀, если она определена в данной точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение ф-ии.

Пояснение: из второго определения ⇒ что чем ближе значение аргумента к т. x₀, тем ближе соответствующее значение ф-ии к т. f(x₀). Т.е. это означает, что рассмотрев сходящуюся посл-ть x_n = x₀+ Δx (Δx - БМП), получим п-ть значений ф-ии f(y_n) = f(x₀)+ f(Δx_n), где f(Δx_n) – БМП. Т.о. по сути дела мы показали, что второе опр-е равносильно первому. Аналогично можно показать и обратную взаимосвязь между 1ым и 2ым определением.

Если в т. x₀ ф-ия не явл. непрерывной, то точка x₀ наз. точкой разрыва и говорят, что в данной точке ф-ия имеет разрыв.

Классификация точек разрыва.

- точка разрыва Iрода

Конечный скачок:

Точка x₀ наз. точкой разрыва I рода, если в данной точке ф-ия имеет односторонние пределы. Они конечны, но не равны между собой. В этом случае говорят, что ф-ия совершает конечный скачок; величина скачка=разности lim _x→x0+0f(x)- lim _x→x0-0f(x).

Среди разрывов I рода выдел. отдельный вид разрывов – устранимые разрывы.

; D(y)=(-∞;2) ∪(2;+∞); x₀=2

Исследуем т. разрыва и для этого найдем односторонний предел:

ф-ия имеет устранимый разрыв.

Точка x₀ наз. точкой устранимого разрыва, если в данной точке ф-ия имеет односторонние пределы. Они конечны, но не значению ф-ии в данной точке.

Точка x₀ наз. точкой разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов=∞ или не существует.

Пример

В любой точке разрыва II рода ф-ия имеет вертикальные асимптоты:

1. двусторонние, если оба односторонних предела=∞

2. односторонние, если один из односторонних пределов=∞

Теорема (о непрерывности сложной ф-ии): пусть дана ф-ия y=f(u), определ. на множ-е U и u=φ(x), определ. на множ-е X. Тогда если ф-ия y=f(u) непрерывна в т. u₀, а ф-ия u=φ(x) непрерывна в т. x₀ и u0=φ(x₀), то сложная ф-ия Π(x) = f(φ(x)) явл. непрерывной в т. x₀. Ф-ия φ(x) наз. внутренней ф-ей, а f(u) наз. внешней ф-ей.

Следствие из теоремы: lim _x→x0f(φ(x)) = f(lim _x→x0 φ(x)) или ф-ия φ(x) и f(φ(x)) – непрерывна в т. x_0.

теорма о композиции ф-ии

Непрерывность на множествах.

Ф-ия y=f(x) наз. непрерывной на множ-е X, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Свойства ф-ий, непрерывных на множ-ах:

1. I теорема Вейерштрасса: если ф-ия y=f(x) непрерывна на ограниченном замкнутом множ-е отрезка [a;b], то она на этом отрезке ограничена; существуют числа m и M, такие, что f(x) принимает значения от [m;M].

2. II теорема Вейерштрасса: если ф-ия y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то на этом отрезке данная ф-ия достигает своего наибольшего и наименьшего значения, т.е. на отрезке сущ. по крайней мере одна точка C₁ ∈[a;b], такая, что f(C₁)=y наиб. (x ∈[a;b]) и сущ. по крайней мере одна C₂ ∈[a;b], такая, что f(C₂)=y наим. (x ∈[a;b]).

I теорема Больцано-Коши: пусть ф-ия y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a;b], и на концах этого отрезка принимает значения различных знаков, т.е. f(a) · f(b)<0, тогда на интервале (a;b) сущ. по крайней мере одна т. ξ, такая, что f(ξ)=0.

РИСУНОК

II теорема Больцано-Коши: пусть ф-ия y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a;b], если f(a) ≠ f(b) и f(a)=A, f(b)=B, тогда для любого C, A<C<B, на интервале (a;b) сущ. по крайней мере одна т.С, такая, что f(c)=C.

РИСУНОК

Замечание: с геометрической точки зрения II теорема Больцано-Коши говорит о том, что если ф-ия непрерывна на отрезке, то она на этом отрезке принимает ВСЕ свои промежуточные значения.

Дифференциальные исчисления ф-ии одной переменной.

∆=f(x)=f(x0+∆x)=f(x0) – приращение ф-ии,

соотв. приращению аргумента ∆x.

Рассмотрим разностное отношение Δf(x)/Δx. Через т.M₀ и M проведем прямую, кот. для данной ф-ии явл. секущей. Разностное отношение Δf(x)/Δx явл. tg угла наклона секущей. Пусть теперь Δx→0, рассмотрим предел разностного отношения (lim _Δx→0(Δf(x)/Δx). При условии, что Δx→0, т.M→т.M₀ и в пределе эти точки совпадают, секущая становится касательной. В этом случае tgA_сек→ tgA_кос.

Производной ф-ии y=f(x) в т.x₀ назыв. предел отношения Δf(x)/Δx при условии, что Δx→0.

f ´(x₀) = lim _Δx→0(Δf(x)/Δx)

Геометрический смысл производной: с геометр. точки зрения, значение производной в т.x₀ представляет собой tg угла наклона невертикальной касательной к графику ф-ии в т.x₀ или угловой коэффициент данной касательной.

f ´(x₀) =tgA_кас=k_кас , где x₀ – точка касания

y_кас = f ´(x₀)(x- x₀) + f (x₀) - уравнение касательной

Пусть в некоторой т.x₀ ф-ия y=f(x) имеет конечную производную, т.е. lim _Δx→0(Δf(x)/Δx) есть некоторая конечная величина, тогда разностное отношение Δf(x)/Δx представимо в виде, где A(x)-БМФ, следовательно, приращение ф-ии представимо в виде Δf(x) = f ´(x₀)(x- x₀) + f (x₀), где A(x)-БМФ.

Теорема (связь между непрерывностью и дифференцируемостью): если ф-ия y=f(x) дифференцируема в т.x₀, то она в данной точке непрерывна.

Найдя односторонний предел при x→x₀ можно легко показать, что ф-ия в т.x₀ непрерывна, но используя правостороннюю и левостороннюю производную от заданной ф-ии, можно показать, что в т. x=0 производная ф-ии не существует, т.е. из непрерывности не следует дифференцируемость.

Правила дифференцирования:

1. с´=0, где С – coust

2. (u(x) ± v(x))´= u´(x) ± v´(x)

3. (u(x) · v(x))´= u´(x) · v(x) + v´(x) · u(x)

4. (c·u(x))´ = c·u´(x)

5. =

6. Теорема о производной сложной ф-ии: пусть ф-ия y=f(u) дифференцируема в т.u₀, x₀, а ф-ия u=g(x) дифференцируема в т.x₀, причем u₀=g(x₀), тогда ф-ия y=f(x) дифференцируема в т.x₀, причем справедливо равенство y´(x₀)=f´(g₀) · g´(x₀).