36Вопрос. Критерий хи-квадрат.

Критерий χ² (хи-квадрат) приме­няется для сравнения распределений объектов двух совокупностей на основе измерений по шкале наименований в двух независимых выборках. Предполо­жим, что состояние изучаемого свойства (например, вы­полнение определенного задания) измеряется у каждо­го объекта по шкале наименований, имеющей только две взаимоисключающие категории (например: выпол­нено верно — выполнено неверно). По результатам из­мерения состояния изучаемого свойства у объектов двух выборок составляется четырехклеточная таблица 2X2.

 В этой таблице О_ij — число объектов в i-ой выбор­ке, попавших в j-ую категорию по состоянию изучае­мого свойства; i=1,2 – число выборок; j=1,2 – число категорий;; N — общее число наблюдений, равное О₁₁ + О₁₂ + О₂₁ + О₂₂  или n₁+n₂.

Тогда на основе данных таблицы 2X2 можно проверить ну­левую гипотезу о равенстве вероятностей попадания объектов первой и второй совокупностей в первою (вторую) категорию шкалы измерения проверяемого свойства, например гипотезу о равенстве вероятностей вер­ного выполнения некоторого задания учащимися кон­трольных и экспериментальных классов.

При проверке нулевых гипотез не обязательно, чтобы значения вероятностей р₁ и р₂ были известны, так как гипотезы только устанавливают между ними неко­торые соотношения (равенство, больше или меньше).

Для проверки рассмотренных выше нулевых гипотез по данным таблицы 2X2 подсчитывается значение статистики критерия Т по следующей общей формуле:

                                                                              (9)

где n₁, n₂ — объемы   выборок, N = n₁ + n₂ — общее  число наблюдений.

Проводится проверка гипотезы H₀: p₁£p₂ — при альтернативе Н₁: р₁>р₂. Пусть a — принятый уровень значимости. Тогда значение статистики Т, полученное на основе экспериментальных данных, сравнивается с критическим значением статистики х_1-2a,, которое опре­деляется по таблице c²  c одной степенью свободы (см. Приложение 2) с учетом выбранного значения a. Если верно неравенство T<x_1-2a, то нулевая гипотеза принимается на уровне a.  Если данное неравенство не выполняется, то у нас нет достаточных оснований для отклонения нулевой гипотезы.

В связи с тем что замена точного распределения статистики Т распределением c² c одной степенью сво­боды дает достаточно хорошее приближение только для больших выборок, применение критерия ограничено не­которыми условиями.

Критерий не рекомендуется использовать, если:

1)      сумма объемов двух выборок меньше 20;

2)      хотя бы одна из абсолютных частот в таблице 2X2, составленной на основе экспериментальных данных, меньше 5.

37Вопрос. Критерий Колмогорова.

На практике кроме критерия часто используется критерий Колмогорова, в котором в качестве меры расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями рассматривают максимальное значение абсолютной величины разности между эмпирической функцией распределения и соответствующей теоретической функцией распределения

, Называемой статистикой критерия Колмогорова.

Доказано, что какова бы ни была функция распределения непрерывной случайной величины , при неограниченном увеличении числа наблюдений вероятность неравенства стремится к пределу

.

Задавая уровень значимости , из соотношения

можно найти соответствующее критическое значение .

Схема применения критерия Колмогорова следующая:

1. Строятся эмпирическая функция распределения и предполагаемая теоретическая функция распределения .

2. Определяется мера расхождения между теоретическим и эмпирическим распределением по формуле (1) и вычисляется величина

.

Если вычисленное значение окажется больше критического _, определенного на уровне значимости , то нулевая гипотеза о том, что случайная величина имеет заданный закон распределения, отвергается (односторонний критерий). Если , то считают, что гипотеза не противоречит опытным данным.