33.Двойной интеграл. Осн. Понятия и определение

Основные понятия и определения

Обобщением определенного интеграла на случай функций двух пе­ременных является так называемый двойной интеграл.

Пусть в замкнутой области D плос­кости Oxy задана непрерывная функция z = f(x;y). Разобьем область D на п «элементарных областей», площади которых обозначим через S_i, а диаметры (наибольшее расстояние ме­жду точками области) — через d_i

В каждой области D, выберем произвольную точку M_i(x_i;y_i), умножим значение f(x_i;y_i) функции в этой точке на S_i и составим сумму всех таких произведений:

Эта сумма называется интегральной суммой функции f(x;y) в обла­сти D.

Рассмотрим предел интегральной суммы (53.1), когда п стремит­ся к бесконечности таким образом, что max d_i -> 0. Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на ча­сти, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x;y) по области D и обозначается JJ f(x;y)dxdy

Таким образом, двойной интеграл определяется равенством

JJ f(x;y)dxdy=

Вэтом случае функция f(x;y) называется интегрируемой в области D; D — область интегрирования; х и у — пере­менные интегрирования; dxdy (или dS) — элемент площади.

Теорема. (дост. Условие интегр. Ф-ии.)

Если функция z = f(x; у) непрерывна в замкнутой области D, то она интегрируема в этой области.

Замечания.

Далее будем рассматривать толь­ко функции, непрерывные в области инте­грирования, хотя двойной интеграл может существовать не только для непрерывных функций.

Из определения двойного интегра­ла следует, что для интегрируемой в обла­сти D функции предел интегральных сумм существует и не зависит от спосо­ба разбиения области. Таким образом, мы можем разбивать область D на площадки прямыми, параллельными координатным осям. При этом S_i = x_i* y_i.

34. Геометрический и физический смысл двойного интеграла

Объем цилиндрического тела

Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью z = f(x; у) 0, снизу — замкнутой областью D плоскости Оху, с боков — цилин­дрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz, а направляющей служит граница области D. Такое тело называется цилиндрическим. Найдем его объем V. Для этого разобьем область D (проекция поверхности z = f(x; у) на плоскость Оху) произ­вольным образом на п областей Di, площади которых равны . Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями Di, огра­ниченные сверху кусками поверхности z = f(x;y). В своей совокупности они составляют тело V. Обозначив объем столбика с основанием Di через , получим

V=

Возьмем на каждой площадке Di произ­вольную точку M_i(x_i,y_i) и заменим ка­ждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием Di и высотой Z_i = f(x_i; y). Объем этого цилиндра приближенно ра­вен объему цилиндрического столби­ка, т. е. f(x_i,y_i) • Тогда полу­чаем:

V=

Это равенство тем точнее, чем больше чи­сло п и чем меньше размеры «элементар­ных областей» Di, Естественно принять предел суммы при условии, что число площадок Di неограничен­но увеличивается (п ), а каждая площадка стягивается в точку (max d_i 0), за объем V цилиндрического тела, т. е.

V= или V=

Итак, величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.

Масса плоской пластинки

Требуется найти массу т плоской пластинки D, зная, что ее по­верхностная плотность γ = γ (х; у) есть непрерывная функция коорди­нат точки (х;у). Разобьем пластинку D на п элементарных частей Di, площади которых обозначим через . В каждой области Di возьмем произвольную точку M_i(x_i,y_i) и вычислим плотность в ней: γ = γ (х_i; у_i)

Если области Di достаточно малы, то плотность в каждой точке мало отличается от значения γ (х_i; у_i). Считая приближен­но плотность в каждой точке области Di постоянной, равной γ (х_i; у_i), можно найти ее массу m_i: m_i . Так как масса т всей пластинки D равна m = то для её вычисления имеем приближенное равенство

Точное значение массы: m=

Итак, двойной интеграл от функции γ (х; у) численно равен мас­се пластинки, если подынтегральную функцию γ (х; у) считать плотно­стью этой пластинки в точке (х;у). В этом состоит физический смысл двойного интеграла.