63. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена.

Общий вид :

f(x)= f(0) +

Разложение некоторых функций:

Sin x =

1+

Пример разложения:

Разложить в ряд Маклорена функцию f(x)=cos(x).

Находим производные данной функции и их значения при x=0.

;

;

………………………………………………….

.

Поскольку при всех х , т.е. при любом к выполняется условие (n= 1,2…) , то данная функция разлагается в ряд Маклорена, сходящийся в промежутке (−∞, +∞).

Подставляя найденные значения функции и ее производные при х=0 в формулу общего вида, получим искомое разложение:

64. Применение рядов к приближенным вычислениям значений функции, определенных интегралов.

1.При вычислении тригонометрических функций используется разложения этих функций в ряд Маклорена.

2.При вычислении натуральных логарифмов чисел применяется формула

(1)

Которая получается из формулы

при

Погрешность при замене суммы ряда (1) суммой его n первых членов определяется формулой

Очевидно, что

Или

3.Для вычисления корней применяют биноминальный ряд 1+ (2). Предположим, что нужно вычислить , причем уже известно приближенное значение этого корня, но требуется улучшить его. Если правильная дробь, достаточно малая по модулю, то можно преобразовать корень следующим образом: и применить биноминальный ряд (2) при

4. Вычисление определенного интеграла

Пример: вычислить . Для этого разложим подынтегральную ф-ию в степенное ряд :

Интегрируя почленно полученный ряд, находим

Поскольку этот ряд удовлетворяет условиям –( признак Лейбница – сходимость знакочередующегося ряда) и , то взяв первые два его члена, получим

65.Приближенное решение ду.

1. Применение ряда Тейлора. Пример:

Выполняем подстановку :

Продифференцировав обе части получаем : ;

Подставив полученное в формулу Маклорена получим

Этой формулой можно пользоваться при небольших .

2. Применение степенных рядов с неопределенными коэффициентами.

Метод состоит в том,что решение уравнения ищется в форме ряда с неизвестными коэффициентами которые находятся с помощью подстановки в уравнение и последующего приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях

Пример:

Будем искать решение разложением по степеням : (1)

После дифференцирования и подстановки в уравнение получим :

Приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях дает :

Откуда последовательно находим

Подставив эти результаты в формулу (1) получим общее решение уравнения

Константы в качестве произвольных постоянных. Ряды, стоящие в скобках, представляют два линейно независимых частных решения уравнения

Описанный прием всегда применим,в частности, к линейным улавнениям

если все функции представляют собой многочлены относительно или, в более общем случай, суммы рядов по степеням

66. Дискретное вероятностное пространство

Если множество элементарных исходов Ω конечно или счетно:Ω={ω₁ , ω₂,…}, то соответствующее вероятностное пространство называется дискретным. В случае дискретных вероятностных пространств событиями обычно считают все возможные подмножества Ω. В этом случае для задания вероятности необходимо и достаточно приписать каждому элементарному исходу ω_i число p_i >=0 так, чтобы их сумма была равна 1. Тогда вероятность любого события B задается следующим образом: _i