49. Ротором (или вихрем) векторного поля

= Р(х; y; z) + Q(x; y; z) + R(x; y; z) , называется вектор, обозначаемый rot (М) и определяемый формулой

)

Ротором вектора в точке М называется вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции вектора по контуру L плоской площадки S, перпендикулярной этому направлению, к площади этой площадки. Физ смысл: С точностью до числового множителя ротор поля скоростей представляет собой угловую скорость вращения твердого тела.

Дивергенцией (или расходимостью) векторного поля

(М) = Р(х; у; z ) + Q(x; у; z) + R(x; у; z)

в точке М называется скаляр вида и обозначается символом div (М), т. е .

Физ. смысл: при div (M) > О точка М представляет собой источник, откуда жидкость вытекает; при div (M) < О точка М есть сток, поглощающий жидкость.

50-51. Связь между двойным интегралом по области D и криволинейным интегралом по границе L этой области устанавливает формула Остроградского-Грина. Если функции Р(х; у) и Q(x; у) непрерывны вместе со своими частными производными и в области D, то имеет место формула

где L - граница области D и интегрирование вдоль кривой L производится в положительном направлении (при движении вдоль кривой, область D остается слева).

52. Формула Стокса. Если функции р(х; у; z), q(X у; z) и r(X у; z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в точках ориентированной поверхности s, то имеет место формула

где L - граница поверхности S и интегрирование вдоль кривой L производится в положительном направлении (т. е. при обходе границы L поверхность S должна оставаться все время слева). Формулу Сток можно применять для вычисления криволинейного интеграла по замкнутому контуру с помощью поверхностного интеграла.

53. Основные понятия теоории рядов. Свойства рядов. Необходимый признак сходимости числового ряда.

Числовым рядом наз-ся бесконечная последовательность чисел, соединенная знаком сложения: а1+а2+…+ак +…=∑_к=1^∞ак.

Где а1,…,ак- члены числового ряда

Введем след. Обозначения: Sк = ∑_к=1^каi = а1+а2+…+ак - n-ая частичная сумма числового ряда: к=1, то Sк=а1,к=2, то Sк=а1+а2,…к: Sк = а1+а2+…+ак, т.е. видно, что частичная сумма образует числ. Последовательность.

Числ ряд наз сходящимся, и его сумма в этом случае будет равна S, если сущ-т конечные предел последовательности частичных сумм, котрый равен S: S_n=S, n→∞. Если предел послед не или бесконечен, то ряд наз. расходящимся. Св-ва сходящихся числ. Рядов. Рассмотрим 2 числ ряда:

а1+а2+…+ак +…=∑_к=1^∞ак. (1)

в1+в2+…+вк +…=∑_к=1^∞вк ( 2)

1)Если ряд (2) сходится, и его сумма равна S, тогда произведение этого ряда на действительное число также сходится, и его сумма будет равна λS.

Док-во: Пусть Sk- частичная сумма ряда (2), sk - частичная сумма ряда λ в1+ λ в2+…+λ вк +…, ясно, что λ Sk = sk. Переходя к пределу, получим:

Lim sk=lim λSk= λlimSk= λS(k→∞)

2)Если ряды (1) и (2) сходятся, и их суммы соответственно равны S, S’, то ряд из определения 1) (назовем его (3)) также сходится, а его сумма будет равна S+S’.

Док-во: Qk=Sk+Tk, где Qk, Sk,Tk – сответственно частич суммы рядо (1), (2), (3). Переходя к пределу при k→∞, получаем, что сущ-т LimQk и Q=S+T

3)Если ряд сходится, то ряд, полученный из данного путем отбрасывания или приписывания конечного числа членов также сходится.

Док-во: Рассмотрим, когда отбрасывают первые n членов. Оставшийся ряд аn+1 +аn+2+… наз остатком исходного ряда (1). Пусть Сn- сумма первых n членов, Sk -частичная сумма исх. Ряда,S’k - частичная сумма остатка, при k>n:

Sk = Cn+S’k

Если сущ-т предел lim Sk k→∞, то сущ-т и предел lim S’k и наоборот. В частности, выполняется равенство: S=S’+Cn

4)Если ряд (1) сходится, то сходится и любой ряд. Полученный из него группировкой слагаемых, причем суммы обоих рядов одинаковы.

НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ РЯДА: Теорема. Если ряд а1+а2+…+аn +…=∑_n=1^∞аn. сходится, то предел его общего члена при n →∞ равен 0. lim an=0 Если ряд , , сх, то Доказательство сх => , ,

Зам.: Сформулированный признак явл. необходимым усл-м и не явл достаточным, чтобы ряд сходился. СЛЕДСТВИЕ : если или = то расх. , , ; , ; ( S_n) –неубыв.

Последовательность S_{n сх}