7.3 Модальная и пороговая логика

Название модальная логика связано с тем , что в модальные логические системы входят такие операторы над логическими формулами, которые позволяют модифицировать их интерпретацию. Например, в фразах "возможно, что А", "Миша думает , что А", " в будущем возможно правда, что А" и т.д, предшествующие логической формуле А выражения являются модальными операторами. Они могут относиться к какой угодно формуле А. Значение истинности этих высказываний зависит не только от истинности формулы А, но и от момента, когда провозглашается модальная формула (временны с логики), от человека, который верит, что А (логика веры), или от необходимого, возможного или случайного характера некоторого факта (логика возможного).

Суждения, образованные из других суждений, в которых описываемые в них положения характеризуются как необходимые, возможные, случайные, называются алетическими модальными суждениями. Понятия "необходимо", "случайно", "возможно" называются алетическими модальными понятиями, или модальностями.

В отличие от языка классической логики высказываний в языке модальной логики используются дополнительные символы ◊, ∆. Они называются соответственно модальными операторами общности, существования, случайности.

·Синтаксические правила логики высказываний являются также синтаксическими правилами модальной логики.

· Если А – формула, то □А, ◊А, ∆А – формулы.

Дадим словесную трактовку модальным операторам:

· □А – необходимо; □А истинно тогда и только тогда, когда А необходимо истинно, или Абсолютно истинно, или предполагается , что А истинно, или А истинно во всех возможных мирах;

· ◊А – возможно; ◊А истинно, если А может оказаться истинным, или А условно истинно, или разрешается, чтобы было истинным, или противоположное к А неизвестно, или если А истинно в некотором возможном мире.

Трактовка оператора □А	Трактовка оператора ◊А
Необходимо, что А	Возможно, что А
Всегда будет истинно, что А	Иногда будет истинно, что А
Требуется, чтобы А	Разрешается , чтобы А
Предполагается, что А	Противоположное к А не предполагается
Любое выполнение программы дает результат А	Существует такое выполнение программы, которое дает результат А

Пороговая логика

В 1943 году Уоррен Мак-Каллок и Уолтер Питтс предложили формальную модель нейрона (нервной клетки мозга) как переключающей функции {0,1}ⁿ {0,1} в виде логической схемы, имеющей конечное число двоичных входов и один двоичный выход. Каждый вход X1 учитывается в нейроне с некоторым приписанным ему весом W1. Нейрон возбуждается, если суммарное взвешенное возбуждение его выходов не меньше некоторого порога срабатывания Ө. иными словами выход нейрона равен 1, если ∑1 W1 *X1 ≥ Ө.

С изменением порога и весов входов логические функции, реализуемые этим нейроном, изменяются. Рассмотрим формальный нейрон с двумя входами {x1, x2}, изображенный на рис. 7.1. суммарное возбуждение ∑ для этой схемы рассчитывается так: ∑=w1*x1+w2*x2. Пусть w1=w2=1; тогда ∑=x1+x2. Если Ө=1, эта схема реализует дизъюнкцию x1^x2; при Ө=2 она реализует конъюнкцию x1&x2.

Поставим обратную задачу: для заданного нейрона найти такие веса входов и порог его срабатывания, что этот нейрон реализует заданную двоичную функцию, например конъюнкцию &. Очевидно, что для решения задачи для конкретного нейрона рис.1.14 нужно просто решить систему 4-х неравенств:

Для набора < 0,0 >,∑= w1*x1+w2*x2=0 < Ө (поскольку 0&0=0);

Для набора < 0,1 >, ∑=w1*x1+w2*x2=w2 < Ө (поскольку 0&1=0);

Для набора < 1,0 >, ∑=w1*x1+w2*x2=w1 < Ө (поскольку 1&0=0);

Для набора < 0,0 >, ∑=w1*x1+w2*x2=w1+w2 ≥ Ө (поскольку 1&1=1).

Х1

w1

X2 w y

Рис.7.1 пример формального нейрона

Очевидно, что этой системе неравенств удовлетворяет решение Ө=2,w1=w2=1.

Покажем, что в пороговой логике не существует элемента с двумя входами, реализующего функцию сложения по модулю2. Действительно,

0 < Ө (поскольку 0 + 0 =0);

w2 ≥ Ө (поскольку 0 + 1 =1);

w1 ≥ Ө (поскольку 1+ 0 =1);

w1+w2 < Ө (поскольку 1+ 1 =0).

Из второго и третьего неравенства имеем w1+w2 ≥ Ө + Ө и, учитывая последнее неравенство, Ө >w1+w2 ≥ Ө + Ө. это однако, противоречит первому неравенству Ө>0.

7.4 Вопросы для самопроверки

1 Дать классификацию неклассических логик

2 Что называется нечетким множеством

3 что называется нечетким высказыванием

4 Определить степень истинности отрицания нечеткого высказывания

5 Определить степень истинности конъюнкции нечетких высказываний

6 Определить степень истинности дизъюнкции нечетких высказываний

7 Дать формулу для определения степени истинности импликации нечетких высказываний