16. Сложное движение точки

     Законы Ньютона сформулированы для движения точки по отношению к инерциальным системам отсчета. Для определения кинематических параметров точки при движении относительно произвольно движущейся системы отсчета вводится теория сложного движения.

    Сложным называют движение точки по отношению к двум или нескольким системам отсчета. 

Рисунок 3.1

     На рисунке 3.1 показаны:

     - условно принимаемая за неподвижную система отсчета  O1x1y1z1;

     - движущаяся относи¬тельно неподвижной система отсчета  Oxyz;

     - точка M , перемещаю¬щаяся по отношению к под¬вижной системе отсчета.

     

     Движение точки  M в данном случае является сложным. Её движение по отношению к подвижной системе отсчета называют относительным движением. 

    Движение той точки подвижной системы отсчета, в которой в данный момент находится движущаяся точка, по отношению к неподвижной системе отсчета называют переносным движением. Движение точки M  по отношению к неподвижной системе отсчета называют абсолютным движением. 

     По аналогии с этими определениями будут называться относительные, переносные и абсолютные скорости и ускорения точки. Для их обозначения в относительном движении часто всего используется индекс r  (relative – относительный) -Vr, ar  ;  в переносном движении индекс  e  (entrained - увлекать за собой) -Ve , ae . 

   

Рисунок 3.2

     Ниже приведен пример сложного движения точки -M. 

     На рисунке 3.2,а показан квадрат, вращающийся в плоскости чертежа вокруг неподвижной точки. По стороне квадрата движется точка  M. Она участвует в двух движениях, поэтому можно ввести две системы отсчета: неподвижную, например, O1x1y1z1  - по отношению к которой вращается квадрат и подвижную Oxyz , скрепленную с квадратом, по оси  Oy которой движется точка M  (рисунок  3.2,б). 

    Движение точки  M по стороне квадрата (по оси  Oy  скрепленной с квадратом подвижной системы) является относительным - скорость в этом движении Vr . Вращение точки  M  вместе с квадратом - переносное движение, скорость в этом движении - Ve . Абсолютное движение является результатом сложения переносного и относительного движений.

17. Ускорение точки в сложном движении. Ускорение Кориолиса

    Согласно теореме Кориолиса, абсолютное ускорение точки в сложном движении определяется как геометрическая сумма относительного, переносного и кориолисова ускорений (рис. 3) 

                                        aa = ar  ⊕   ae  ⊕  aC   .

Рис. 3

    Поскольку, в данном случае, относительное движение происходит по прямой линии, относительное ускорение ar  направлено вдоль этой прямой и определяется выражением

    Переносным ускорением точки M является ускорение точки M диска. Диск совершает вращательное движение, следовательно, переносное ускорение определяется выражением

  ae = aeвр  ⊕  aeцс            ,

где  aeвр= ε⋅ OM  - вращательное ускорение точки M, направленное перпендикулярно отрезку OM ;

       aeцс= ω2⋅ OM - центростремительное ускорение точки M, направленное к центру диска.

    Ускорение Кориолиса или поворотное ускорение определяется по формуле

aC = 2 ωe  ⊗  νr          ,

 где  ωe - переносная угловая скорость,

        νr  - относительная скорость точки.

    Направление ускорения Кориолиса определяется по правилу векторного произведения или по правилу Жуковского.

    Величина ускорения Кориолиса определяется выражением

         aC = 2 ωe  νr  sinα      ,

где  α  – угол между векторами ωe  и νr  .

    Рассмотрим, какой физический смысл заложен в ускорение Кориолиса. Для простоты будем считать, что диск вращается с постоянной угловой скоростью, а точка M движется относительно диска с постоянной относительной скоростью (рис.4).

Рис. 4

    Пусть в момент времени t1 точка M занимала положение M1 и имела относительную скорость νr 1 . За промежуток времени Δt точка M переместится в положение M2 , при этом направление скорости νr изменится вследствие вращения диска. Вектор νr получит приращение Δνr . Отношение  Δνr / Δt определяет среднее ускорение точки за промежуток времени Δt . Предел отношения  Δνr / Δt при  Δt→ 0 есть производная  dνr / dt , как производная от вектора постоянного по величине.

    Рассмотрим, как изменяется переносная скорость в зависимости от относительного движения. В моменты времени t1 и t2 переносная скорость определяется выражениями νe1= ω ⊗ OM1  и  νe2= ω ⊗ OM2 . Тогда приращение вектора  νe за счет относительного движения будет равно 

 Δνe = ω  ⊗ OM2 - ω ⊗  OM1 = ω  ⊗ (OM2 - OM1) = ω ⊗  νr⋅ Δt 

    Отношение Δνe / Δt в пределе при  Δt→ 0 дает производную dνe / d t = ω ⊗  νr  . Таким образом, ускорение Кориолиса с одной стороны характеризует изменение относительной скорости по направлению за счет переносного вращения и, с другой стороны, изменение величины переносной скорости за счет относительного движения.

Рис. 5

    Абсолютное ускорение точки в сложном движении в общем случае определяется геометрической суммой пяти слагаемых

    Для определения величины абсолютного ускорения удобнее пользоваться аналитическим методом сложения векторов: