Примеры решения задач

1. Скорость и длина разных видов волн в твердом теле

Рассчитайте скорость и длину волны, частота которой f = 400 Гц, в стали в случаях:

а) вдоль стального стержня бежит продольная волна;

б) вдоль стержня бежит поперечная волна;

в) волна бежит по струне длиной сечением 1 мм², натянутой силой 200 Н.

Решение

Скорость волны зависит не только от среды, в которой она распространяется, но и от вида волны. В одной и той же среде скорость разных волн разная.

1. Скорость продольной волны равна , где Е - модуль Юнга, - плотность вещества.

2. Скорость поперечной волны равна , где G - модуль сдвига, - плотность вещества.

3. Скорость поперечной волны в натянутой струне , где F – сила натяжения струны, - погонная масса. Погонная масса или масса единицы длины равна . Тогда скорость .

Нетрудно видеть, что быстрее всего в веществе распространяются продольные волны.

Длина волны связана со скоростью и частотой .

Длина продольной волны , поперечной волны , волны в струне .

2. Интенсивность сейсмической волны

На расстоянии 100 км от очага землетрясения зафиксирована сейсмическая волна интенсивностью . Чему была рана интенсивность волны в точке, расположенной на расстоянии 2 км от очага землетрясения? Чему равна мощность, приходящаяся на поверхность площадью 20 м², на расстоянии 2 км от очага землетрясения?

Решение

1. От очага землетрясения волна распространяется по всем направлениям, т.е. волна сферическая. Интенсивность сферической волны обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника волны ~ .

2. По определению интенсивность волны – это .

– мощность, приходящаяся на поверхность площадью S.

2. Частота звука, записанного на грампластинке

В канавке грампластинки, вращающейся со скоростью 33 об/мин, на расстоянии 12,5 см от оси вращения «бугорки» располагаются с интервалом 2,45 мм. Чему равна частота записанного в этом месте звука?

Решение:

1. Частота звука совпадает с частотой колебания иголки. Игла совершает вынужденные колебания под действием толчков со стороны «бугорков». Частота же вынужденных колебаний совпадает с частотой внешней вынуждающей силы. Следовательно, частота звука равняется частоте следования толчков со стороны «бугорков» на иголку. Найдем число «бугорков», которые проходят под иголкой за 1 с.

Найдем линейную скорость точек грампластинки, располагающихся на расстоянии R = 12 см от оси вращения:

2. Найдем длину дуги окружности, проходящей под иголкой за время :

3. Найдем число «бугорков» на длине дуги L, если расстояние между соседними «бугорками» равно S = 2,45 мм:

Частота звука .

4. Графическое изображение волны

Конец длинной горизонтальной натянутой струны совершает гармоническое колебание с частотой = 250 Гц. Сила натяжения струны F = 75 Н, а погонная плотность . В начальный момент времени конец струны движется из положения равновесия вверх со скоростью 4 м/с. Постройте

а) график зависимости смещения частиц струны от их расстояния до конца струны через 0,01 с;

б) график зависимости смещения точки струны, расположенной на расстоянии 0,1 м от ее конца.

Решение

Составляем уравнение бегущей по струне волны. Ось координат ОХ направим вдоль струны, начало координат совмести с колеблющимся концом. Волна бежит в положительном направлении оси ОХ.

1. Циклическая частота волны .

2. Амплитуда колебаний всех частиц струны такая же, как амплитуда колебаний ее конца. Конец струны пришел в колебательное движение из положения равновесия, следовательно, его скорость в начальный момент времени была максимальна. Амплитуда колебаний связана с начальной скоростью соотношением .

3. Скорость волны в натянутой струне .

4. Волновое число .

5. Уравнение колебаний свободного конца струны, являющегося источником волны .

Уравнение бегущей вдоль струны волны

6. Уравнение бегущей волны - есть функция двух переменных и .

З афиксировав время, можно получить -картину распределения смещений частиц струны . По условию t = 0,01 с, тогда Смещение частиц выглядит так:

По существу, график при t = const является профилем (фотографией) струны, по которой бежит волна.

За время, равное 0,01 волна ушла от конца струны на расстояние 0,25 м. Видим, что минимальное расстояние между точками, колеблющимися одинаково, т.е. длина волны, равна .

7. Зависимость смещения точки струны, расположенной на расстоянии , выглядит так

В течение времени точка покоилась, затем пришла в колебательное движение с такой же частотой, как источник волны.