Вопрос 2 . Энергетические превращения.

Как мы уже знаем, амплитуда колебаний определяется полной энергией колебательной системы. Ранее было показано, что амплитуда вынужденных колебаний остается неизменной с течением времени. Это значит, что полная механическая энергия колебательной системы с течением времени не меняется. Почему? Ведь система не замкнута! Две силы - внешняя периодически меняющаяся и сила сопротивления – совершают работу, которая должна менять полную энергию системы.

Попробуем разобраться, в чем дело. Мощность внешней вынуждающей силы может быть найдена следующим образом:

Видим, что мощность внешней силы , подпитывающей колебательную систему энергией, пропорциональна амплитуде колебаний .

Счет работы силы сопротивления энергия колебательной системы должна уменьшаться, переходя во внутреннюю. Мощность силы сопротивления:

Очевидно, что мощность силы сопротивления пропорциональна амплитуде в квадрате . Изобразим обе зависимости на графике.

Чтобы колебания были установившимися (амплитуда не менялась с течением времени), работа внешней силы за период должна компенсировать потери энергии системой за счет работы силы сопротивления. Точка пересечения графиков мощностей как раз соответствует этому режиму. Представим, что в силу каких-то причин амплитуда вынужденных колебаний уменьшилась. Это приведет к тому, что мгновенная мощность внешней силы окажется больше мощности потерь. Это приведет к росту энергии колебательной системы, и амплитуда колебаний восстановит прежнее значение.

Аналогичным образом можно убедиться, что при случайном увеличении амплитуды колебаний мощность потерь превысит мощность внешней силы, что приведет к уменьшению энергии системы, и, следовательно, к уменьшению амплитуды.

Вернемся к вопросу о сдвиге по фазе между смещением и вынуждающей силой при резонансе. Мы уже показали, что смещение отстает, а, значит, сила опережает смещение, на . С другой стороны, проекция скорости в процессе гармонических колебаний всегда опережает координату на . Это означает, что при резонансу внешняя вынуждающая сила и скорость колеблются в одной фазе. А значит они сонаправлены в любой момент времени! Работа внешней силы в этом случае всегда положительна, она вся идет на пополнение колебательной системы энергией.

Вопрос 3. Несинусоидальное периодическое воздействие.

Вынужденные колебания осциллятора возможны при любом периодическом внешнем воздействии, а не только синусоидальном. При этом установившиеся колебания, вообще говоря, не будут синусоидальными, но они будут представлять собой периодическое движение с периодом, равным периоду внешнего воздействия.

Внешнее воздействие может представлять собой, например, последовательные толчки (вспомните, как взрослый человек «раскачивает» ребенка, сидящего на качелях). Если период внешних толчков совпадает с периодом собственных колебаний, то в системе может наступать резонанс. Колебания при этом будут почти синусоидальными. Сообщаемая системе при каждом толчке энергия идет пополнение полной энергии системы, теряемой за счет трения. Понятно, что при этом возможны варианты: если сообщаемая при толчке энергия равна или превышает потери на трение за период, то колебания будут либо установившимися, либо их размах будет возрастать. Это хорошо видно на фазовой диаграмме.

О чевидно, что резонанс возможен и в том случае, когда период следования толчков будет кратен периоду собственных колебаний. Такое невозможно при синусоидальном характере внешнего воздействия.

С другой стороны, даже при совпадении частоты толчков с собственной частотой резонанс может не наблюдаться. Если только потери на трение за период превышают энергию, полученную системой во время толчка, то полная энергия системы будет уменьшаться, а колебания будут затухать.