7. Степенной ряд
Важным случаем функциональных рядов являются степенные ряды:
(13)
или
Для
выяснения свойств степенных рядов
достаточно ограничиться рассмотрением
рядов вида (13), так как ряд по степеням
легко свести к виду (13) заменой переменных
,
т.е. переносом начала координат в точку
8. Правила сходимости степенного ряда
Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.
Первая теорема Абеля: Пусть ряд
сходится
в точке
.
Тогда этот ряд сходится абсолютно в
круге
и
равномерно по
на
любом компактном
подмножестве
этого круга.
Обращая
эту теорему, получаем, что если степенной
ряд расходится при
,
он расходится при всех
,
таких что
.
Из первой теоремы Абеля также следует,
что существует такой радиус круга
(возможно,
нулевой или бесконечный), что при
ряд
сходится абсолютно (и равномерно по
на
компактных подмножествах круга
),
а при
—
расходится. Это значение
называется
радиусом сходимости ряда, а круг
—
кругом сходимости.
Формула Коши-Адамара: Значение радиуса сходимости степенного ряда может быть вычислено по формуле:
Пусть
и
—
два степенных ряда с радиусами сходимости
и
.
Тогда
Если у ряда свободный член нулевой, тогда
Вопрос
о сходимости ряда в точках границы
круга
сходимости достаточно сложен и общего
ответа здесь нет. Вот некоторые из теорем
о сходимости ряда в граничных точках
круга сходимости:
Признак Д’Аламбера: Если при
и
выполнено
неравенство
тогда степенной ряд сходится во всех точках окружности абсолютно и равномерно по .
Признак Дирихле: Если все коэффициенты степенного ряда положительны и последовательность
монотонно
сходится к нулю, тогда этот ряд сходится
во всех точках окружности
,
кроме, быть может, точки
.Вторая теорема Абеля: Пусть степенной ряд сходится в точке . Тогда он сходится равномерно по на отрезке, соединяющем точки 0 и .
Сумма степенного ряда как функция комплексного параметра является предметом изучения теории аналитических функций.
9. Ряд Тейлора
Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.
Ряд назван в честь английского математика Брука Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора — его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон.
Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.
|
Определение
Пусть
функция
бесконечно
дифференцируема в некоторой окрестности
точки
.
Формальный ряд
называется
рядом Тейлора функции
в
точке
.
Связанные определения
В случае, если
,
этот ряд также называется рядом
Макло́рена.
Свойства
Если есть аналитическая функция в любой точке a, то её ряд Тейлора в любой точке области определения сходится к в некоторой окрестности .
Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности . Например, Коши предложил такой пример:
У этой функции все производные в нуле равны нулю, поэтому коэффициенты ряда Тейлора в точке равны нулю.
Формула Тейлора
Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.
Теорема:
-
Пусть функция имеет
производную
в некоторой окрестности
точки
,
Пусть
Пусть
—
произвольное положительное число,
тогда:
точка
при
или
при
:
Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).