23. Свойства векторного произведения.

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. а хb =(b хa ) (см. рис. 19).

 Векторы ахb и b ха коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки а , b , а хbи a , b , bxaпротивоположной ориентации). Стало быть axb = -(bxa ).

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. l(а хb ) = (lа ) х b = ах (lb ).

Пусть l>0. Векторl(ахb ) перпендикулярен векторам а и b . Вектор (lа)хbтакже перпендикулярен векторам а и b(векторы а, lалежат в одной плоскости). Значит, векторы l(ахb ) и (lа)хbколлинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:

Поэтому l(a хb )=lахb . Аналогично доказывается при l<0.

3. Два ненулевых вектора а и bколлинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а||b <=>ахb =0.

В частности, i *i =j *j =k *k =0.

4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

(a+b) хс= ахс+b хс.

Примем без доказательства.

24. Выражение векторного произведения через координаты.

Мы будем использовать таблицу векторного произведения векторов i , jи k :

если направление кратчайшего пути от первого вектора к второму совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, если не совпадает — третий вектор берется со знаком «минус».

Пусть заданы два вектора а=а_хi +a_yj +a_zkи b =b_xi +b_yj +b_zk . Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как многочлены (согласно свойств векторного произведения):

Полученную формулу можно записать еще короче:

так как правая часть равенства (7.1) соответствует разложению определителя третьего порядка по элементам первой строки.Равенство (7.2) легко запоминается.

25. Приложения векторного произведения.

Установление коллинеарности векторов

Нахождение площади параллелограмма и треугольника

Согласно определению векторного произведения векторов аи b |а хb | = |а| * |b |sing , т. е. S _пар = |а х b |. И, значит, DS =1/2|а хb |.

Определение момента силы относительно точки

Пусть в точке А приложена сила F =АВи пусть О — некоторая точка пространства (см. рис. 20).

 

Из физики известно, что моментом си лы Fотносительно точки О называется векторМ, который проходит через точку О и:

1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В;

2) численно равен произведению силы на плечо

 

3) образует правую тройку с векторами ОА и AВ.

Стало быть, М=ОА х F .

Нахождение линейной скорости вращения

Скорость vточки М твердого тела, вращающегося с угловой скоростью wвокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера v =w хr , где r =ОМ, где О—некоторая неподвижная точка оси (см. рис. 21).

  

26. Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл.

Рассмотрим произведение векторов а, bи с, составленное следующим образом: (ахb )•с. Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторноскалярным, или смешанным, произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число.

Выясним геометрический смысл выражения (ахb )*с. Построим параллелепипед, ребрами которого являются векторы а, b , с и вектор d =ахb(см. рис. 22).

 

Имеем: (а х b) • с = d • с = |d| • пр_dс, |d|=|а х b| =S, где S — площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b, пр_dс= Н Для правой тройки векторов и пр_dс = - Н для левой, где Н— высота параллелепипеда. Получаем: (axb )*c =S *(±H ), т. е. (axb )*c =±V , где V — объем параллелепипеда, образованного векторами а, bи с.

Таким образом, смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.