- •Раздел 1. Пространство элементарных событий (пэс). Операции над случайными событиями
- •Раздел 2. Классическое определение вероятности
- •Раздел 3. Условная вероятность. Независимость событий
- •Раздел 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •Раздел 5. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Раздел 6. Испытания Бернулли
- •Раздел 7. Теорема Муавра-Лапласа и Пуассона
- •Раздел 8. Функция распределения и числовые характеристики случайной величины
- •Раздел 9. Основные типы распределений случайных величин
- •Раздел 5
- •Раздел 6
- •Раздел 7
- •Раздел 8
- •Раздел 9
Д.Н. Булгаков, Т.Е. Денисова
«Сборник задач по теории вероятностей»
Раздел 1. Пространство элементарных событий (пэс). Операции над случайными событиями
1. Опыт – 3 независимых бросания монеты. Исход опыта - упорядоченная тройка где - результат i – го бросания – выпадения «герба» (Г) или «решетки» (Р).
а) Построить ПЭС опыта.
б) Описание события:
А – выпал один «герб»; В – выпало два «герба»; С – выпало не менее двух «гербов».
в) Найти Р(А), Р(В), Р(С).
2. Пусть А, В – события в некотором опыте. Чему равны события А + А, А · А ? При каком условии А · В = А ?
3. Мишень состоит из 10 кругов, ограниченных концентрическими окружностями радиусов Опыт – один выстрел, попавший в мишень. Событие - попадание в круг радиуса
а) Является ли множество ПЭС опыта?
б) Построить ПЭС опыта.
в) Что означают события:
?
Раздел 2. Классическое определение вероятности
В урне 3 белых и 7 черных шаров. Из урны наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что этот шар:
а) белый, б) черный?
2. Из слова «наугад» случайно выбирается одна буква. Какова вероятность того, что эта буква: а) «а», б) согласная, в) «я»?
3. Бросается игральная кость. Какова вероятность того, что: а) число выпавших очков – 4, б) число выпавших очков больше 4, в) число выпавших очков – четное, г) число выпавших очков делится на 3?
Бросают две игральные кости. Какова вероятность того, что: а) сумма выпавших очков – 12, б) сумма выпавших очков – 11, в) сумма выпавших очков не менее 9, г) по крайней мере на одной кости выпала 1?
5. Из 5 карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад одну за другой выбирают 3 карточки. Какова вероятность того, что получится слово «два»?
6. При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры нечетные и разные. Найти вероятность того, что номер набран правильно.
7. В лотерее n билетов, из которых m выигрышных. Участник лотереи покупает k билетов. Найти вероятность того, что у него выиграет хотя бы один билет. Указание: рассмотреть противоположное событие.
Среди 25 экзаменационных билетов 5 «хороших». Два студента по очереди берут по одному билету. Найти вероятности следующих событий:
А = первый студент взял «хороший» билет;
В = второй студент взял «хороший» билет;
С = оба студента взяли «хорошие» билеты.
(Задача о выборке) В партии из 50 изделий 5 бракованных. Из партии наугад выбирают 6 изделий. Найти вероятность того, что среди 6 выбранных изделий 2 будут бракованными.
10. В урне n шаров, из них m белых и n-m черных. Из урны вынимают шар, который оказывается белым, и откладывают его в сторону. Затем из урны наугад вынимают ещё один шар. Найти вероятность того, что этот шар тоже будет белым.
11. В урне n шаров, из них m белых и n-m черных. Из урны наугад вынули один шар и, не глядя на него, отложили в сторону. Затем из урны наугад вынули ещё один шар, который оказался белым. Найти вероятность того, что первый вынутый шар – белый..
12. В урне n шаров, из них m белых и n-m черных. Из урны наугад вынимают один за другим все шары, кроме одного. Найти вероятность того, что последний оставшийся в урне шар будет белым.
Указать интерпретацию этой задачи в случае «хороших» и «плохих» экзаменационных билетов.
13. В урне n шаров, из них m белых и n-m черных. Из урны наугад вынимают один за другим все шары. Найти вероятность того, что вторым по порядку вынут белый шар. Указать интерпретацию этой задачи в случае «хороших» и «плохих» экзаменационных билетов.
14. Студент заполнил карточку Спортлото «6 из 49». Найти вероятность событий: студент угадал 3 номера, 4 номера, 5 номеров, 6 номеров.
15. Из последовательности чисел 1, 2, …, n наугад выбирают два числа. Какова вероятность того, что одно из них меньше k , а другое больше k, где 1 < k < n ?
16. На подъезде установлен замок с кодом, который открывается, если в определённой последовательности набрать три разные цифры из имеющихся десяти. Некто забыл код и стал наудачу пробовать различные комбинации из трёх различных цифр, затрачивая на каждую попытку 20 секунд. Найти вероятность того, что он откроет подъезд в течение часа.