Тема 9. Неравенства Маркова и Чебышева. Закон больших чисел в форме Чебышева.

Неравенство Маркова. Пусть случайная величина неотрицательна. Тогда для любого a >0 P(X >= a) = EX/a. Док-во: X = 1* X = (Ix>=a + Ix<a)X >= XIx>=a >= aIx>=a  EX >= aEIx  EX >= aP(X >= a)  ЧТД. Неравенство Чебышева. Пусть дисперсия случайной величины существует, тогда для любого eps > 0 P(|X-EX| > eps) <= DX/eps^2. Док-во: P(|X - EX| > eps) = P((X-EX)^2 > eps^2) неравенство Маркова c заменой > на >=, что увеличит вероятность получаем ЧТД. Правило 3 σ. Пусть σ – стандартное отклонение, тогда возьмем его в неравенстве Чебышева и получим P(|X – EX| > 3σ) <= 1/9 (вероятность отклонения от мат ожидания больше чем на 3 стандартных – 1/9). Т ЗБЧ в форме Чебышева. Пусть X1,…Xn – независимые случайные величины и дисперсия каждой из них существует и ограничена сверху константой C. Тогда для любого eps >0 P(|(X1+X2…Xn)/n – (EX1 +EX2+…EXn)/n|) <ninf> 1. Док-во: возьмем случайную величину X = (X1 +…+Xn)/n, EX = (EX1 +…+EXn)/n, DX = DΣ<i=1, n>Xi/n = (1/n^2)Σ<i=1, n>DXi (из независимости). Неравенство Чебышева: P(|X – EX| < eps) >= 1- DX/eps^2 >= 1 – nC/(n^2eps^2) = 1- C/(neps^2) ЧТД.

Тема 10. Неравенство Иенсена.

Пусть вещественная функция g выпукла вниз (надграфик – выпулкое мн-во). Тогда для любой случайной величины ξ с конечным первым моментом верно: Eg(ξ) >= g(Eξ). Для вогнутых функций наоборот. Лемма: Пусть g – выпуклая функция. Тогда для любого x0 найдется такое число c(x0) такое, что при всех x g(x) >= g(x0) + c(x0)(x-x0) (график выпуклой функции лежит выше любой касательной к нему). В условиях леммы возьмем x0 = Eξ, x = ξ. Тогда g(ξ) >= g(Eξ) + c(Eξ)(ξ – Eξ). Вычислим мат ожидание обеих частей. Так как E(ξ – Eξ) = 0, то получаем ЧТД.

Тема 11. Характеристические функции и их свойства. Закон больших чисел в форме Хинчина.

Характеристической функцией случайной величины ξ называется h(t) = Ee^(itξ) = Ecos(tξ) + iE(sin(tξ)). 1) hξ(0) = 1, |hξ(1)| <= 1 2) hξ(t) равномерно непрерывна на всей числовой оси |hξ(t + д) – hξ(t)|= |Ee^(i(t+д)ξ – Ee^(itξ)|<= E|e^(iдξ) – 1|. Следующие утверждения эквиваленты: hξ(t) принимает только действительные значения, hξ(t) = hξ(-t), ξ и (-ξ) одинаково распределены. Fξ(x) = P(ξ < x) = P(-ξ < x) = P(ξ > - x) = 1 – Fξ(-x + 0). (Док-ва элементарными преобразования. hξ(-t) = !hξ(t)). Т Бохнера, Хинчина: Функция hξ(t) – является характеристической функцией случайной величины ξ тогда и только тогда, когда hξ(0) = 1, hξ(t) положительно определена, те для любого n, любых действительных t1,…,tn, и любых комплексных c1,…,cn выполняется Add<j=1, n>Add<k=1, n>hξ(tj – tk)cj(!ck) >= 0. (без док-ва). hξ(t) = hη(t) <=> Fξ(x) = Fη(x). Если ξ – абсолютно непрерывна с плотностью pξ(t) то hξ(t) = $e^(itx)pξ(x)dx, pξ(x) = (1/(2п))$e^(-tx)hξ(t)dx. Пусть у случайной величины ξ существует момент порядка n. Eξ^n < inf, тогда существует d^kh(t)/dt^k = h(k)(t) для k < N и h(k)(0) = (i^k)Eξ^k. Пусть ξ1,…,ξn…сходится по распределению к ξ, то hξn(t) --><n-->inf>hξ(t) для любого t. 2) Если hξn(t) --><n-->inf>hξ(t) и hξ(t) непрерывна в 0, то hξ(t) – характеристическая функция ξ и ξn --> ξ по распределению. Пусть hξ(t) – характеристическая функция ξ. Тогда h<aξ+b>(t) = Ee^(it(aξ +b)) = e^(itb)Ee^(i(ta)ξ) = e^(itb)haξ. Т Хинчина: Пусть ξ1, ξ2 … - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, у которых существует Eξi = a. Тогда выполняется закон больших чисел, те (Sn – ESn)/n P--><n-->inf> 0. Док-во: не ограничивая общности положим a = 0. Пусть h(t) – хар функция ξ1. Она раскладывается по формуле Маклорена до 2х членов h(t) = h(0) + h’(0)t + o(t), h(0) = 1, h(t) = 1 + o(t), t-->0. Тогда h<(Sn – ESn)/n>(t) = Mult<j=1, n>Ee^(itξj/n) = (h(t/n))^n = (1 + o(1/n))^n--> 1, следовательно ξ = 0, hξ(t) = 1. Те (Sn-ESn)/n--> 0 по распределению. Из сходимости по распределению к константе следует сходимость по распределению к константе следует сходимость по вероятности (Sn –Esn)/n P--><n-->0>0. ЧТД.