37.Расчет сети методом уравнений контурных токов.

Метод контурных уравнений предназначен для расчета распределения мощностей (токов) и других параметров установившихся режимов в замкнутых электрических сетях.Суть метода заключается в составлении и решении систем контурных уравнений и определении на их основе параметров режима. Состав­ление контурных уравнений выполняют на основе первого и второго законов Кирхгофа.

Расчет режима с помощью уравнений контурных токов. Основой этих уравнений является второй закон Кирхгофа, согласно которому для к независи­мых контуров, не содержащих ЭДС, можно записать

, (7.36) где — ток ветви j, входящий в состав контура k. УКТ можно получить из урав­нения (7.36), если выразить токи ветвей через принятые К контурные токи и за­данные токи в n узлах по соотношениям первого закона Кирхгофа

, ,(7.37)где — задающий ток узла i.

Тогда недоопределенная (m > К) система уравнений с m переменными пре­образуется в систему К независимых контурных уравнений с К контурными тока­ми в качестве переменных. Решив эту систему, определим все контурные (незави­симые) токи. Затем вычислим зависимые (неконтурные) токи в других ветвях схемы, используя их выражения через контурные токи.

Согласно закону Ома по напряжению балансирующего источника и токам ветвей можно вычислить напряжения в других узлах электрической сети.

Сущность метода рассмотрим на примере электрической сети, схема заме­щения которой (рис. 7.9) содержит m = 5 ветвей n + 1 = 4 узла с известными неиз­менными расчетными токами в n = 3 узлах и напряжением U_б в (n + 1) четвертом узле, являющимся базисным по напряжению и балансирующим по мощности.

Последовательность составления УКТ и расчета на их основе параметров электрического режима:

1) выберем систему независимых контуров (малые контуры I и II, рис. 7.9). Количество независимых контуров

K = m-n = 5-3 = 2;

2) отметим ожидаемые (или произвольные) направления токов ветвей; вы­берем контурные токи и , не являющиеся общими для независи­мых контуров;

3) выразим токи других ветвей через контурные токи и и токи нагрузок по балансовым соотношениям первого закона Кирхгофа:

, , (7.38)

4) запишем для контуров I и II уравнения по второму закону Кирхгофа:

(7.39)

Рис. 7.9. Схема замкнутой сети при задании нагрузок в узлах токами

5) подставляя в (7.39) значения токов (7.38), получим после небольших пре­образований систему уравнений

(7.40)

Сумма сопротивлений при контурных переменных, равная суммарному со­противлению соответствующего контура:

называется собственным сопротивлением контура. Сопротивление ветви Z₂₃, одновременно входящей в смежные контуры I и II, называется взаимным сопротив­лением контуров Z_I-II = Z_II-I. Знак взаимного сопротивления Z_I-II определяется при сопоставлении направлений контурных токов I₁ и I_II; если в ветви Z_I-II на­правления токов совпадают, то сопротивление Z_I-II имеет знак плюс, при встреч­ном направлении токов — знак минус. В данном случае

Известные (свободные) члены уравнений обозначим в виде

С учетом введенных обозначений систему уравнений контурных токов (7.40) перепишем в более общем виде:

(7.41)

Система (7.41) представляет собой контурные уравнения в канонической (нормальной) записи, в которой свободные члены Е₁ и Е_II могут быть перенесены в правую часть уравнений.

Решив систему линейных уравнений (7.41), получим значения контурных переменных I_I и I_II. Далее по соотношениям (7.38) определим токи в других вет­вях. Если какой-то ток окажется отрицательным, то в этой ветви следует изменить его направление по сравнению с принятым на рис. 7.9.

Напряжения в узлах сети определяются, начиная с узлов, ближайших к ба­зисному, с известным напряжением U_б. Зная направление токов ветвей, получаем:

(7.43)

Учитывая, что данный метод не содержит каких-либо допущений, на этом расчет заканчивается. Если уточнить расчетные токи узлов по выражениям вида (7.2), (7.4) через найденные напряжения (7.43), то расчет параметров режима по­вторяется, начиная с позиции 3.

Вычислив напряжения с заданной точностью, контролируя критерии вида (5.75) или (7.33), определим потокораспределение в сети. Например, для ветви 1—2 имеем: