5. Приложение 1.
Базовые неравенства.
1). Неравенство Коши. (Неравенство между средним арифметическим и средним
геометрическим двух неотрицательных чисел).
Если
Равенство достигается только при a = b. Если же
2). Неравенство Коши для n переменных.
Равенство достигается только при а1=а2= …. =аn .
3).
Равенство достигается только при а = 1.
4).
Равенство достигается только при а = -1.
5). .
6). .
Равенство достигается при а =b.
7). .
8). .
Равенство достигается только при
9).
Приложение 2.
Таблица.
Использование свойств функций при решении уравнений.
Теорема 1. Если одна из функций y=f(x), y=g(x) убывает, а другая возрастает на промежутке Х, то на этом промежутке уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного корня.
Теорема 2. Если f(x) возрастает на Х (или f(x) убывает на Х), то уравнение f(x)=C, где C=const, на Х имеет не более одного корня.
Теорема 3. Если , то
Теорема 4. Если кривая y=f(x) выпуклая на Х, а кривая y=g(x) вогнутая на Х, то на промежутке Х уравнение f(x)=g(x) имеет не более двух корней.
Теорема 5. Пусть уравнение f(x) =0 имеет конечное число корней. Если y=f(x) — чётная (нечётная) функция, то уравнение f(x)=0 имеет чётное число корней тогда и только тогда, когда f(0) 0; и имеет нечётное число корней тогда и только тогда, когда f(0)=0.
Литература.
Саакян С. М., Гольдман А. М. , Денисов Д.В.
Задачи по алгебре и началам анализа. Пособие для учащихся 10-11 классов общеобразовательных учреждений.
«Просвещение», «Учебная литература», Москва, 1997 .
Вавилов В. В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И.
Задачи по математике. Начала анализа.
Москва , «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1990.
Дорофеев Г., Потапов М., Розов Н.
Математика. Для поступающих в вузы.
Дрофа, Москва, 2001.
Кутасов А. Д., Пиголкина Т. С., Чехлов В. И., Яковлева Т. Х.
Пособие по математике для поступающих в вузы. Под редакцией Г. Н. Яковлева.
Москва, «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1988.
Кравцев С. В., Макаров Ю. Н., Максимов В. Ф., Нараленков М. И.,
Чирский В. Г.
Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных.
Издательство «Экзамен», Москва, 2003.
Мордкович А. Г.
Беседы с учителями математики. Учебно – методическое пособие.
Москва, ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», ООО « Издательство « Мир и образование», 2005.
Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г.
Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия. Учебное пособие для студентов физико – математических специальностей педагогических институтов и учителей.
Москва, « Просвящение», 1991.