![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
2. Использование свойства ограниченности.
Теорема 1. Если для любого х
Х
выполняются неравенства f
(x)
A,
g(x)
,
то на множестве Х уравнение f
(x) = g (x)
равносильно системе
Иными словами, если
, то уравнение f (x)
= g (x) на
множестве Х равносильно системе
Теорема 2. Пусть требуется
решить уравнение
Если на D
выполняются неравенства
,
то на
множестве D
уравнение
равносильно системе
Пример № 1.
Решите уравнение
cos 2x + cos
Решение:
cos 2x + cos
Последнее уравнение есть уравнение вида f(x) =g(x),
где f(x) = cos 2x, g(x) = 2 – cos
Заметим , что
f(x)=1,
g(x) =1.
Следовательно, уравнение
равносильно системе
х =
,
так как cos
тогда и только тогда, когда k
,
то есть k = 5n.
Ответ:
.
Пример № 2.
Решите уравнение
Решение:
Уравнение
есть уравнение вида f(x)
= g(x), где
f(x) =
,
g(x) = sin x- cos x.
Заметим, что f(x)
R,
g(x) =
R.
Следовательно, уравнение равносильно системе
, так как
Z
Z
.
Ответ: Z .
Пример № 3.
Решите уравнение
arcsin(x (x
+ y)) + arcsin(y
(x + y)) =
Решение:
Так как arcsin(x
(x + y) )
,
arcsin( y (
x+y) )
для любых пар
,
для которых имеет смысл левая
часть уравнения
, то уравнение
равносильно системе
Ответ:
Пример № 4.
Решите уравнение
(1)
Решение:
Воспользуемся неравенством Коши между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных величин:
,
,
,
(2)
Заметим, что равенство достигается
тогда и только тогда, когда
.
Снова воспользуемся неравенством
Коши (теперь для величин
):
,
,
,
,
.
(3)
Заметим, что в неравенстве (3)
равенство достигается тогда и только
тогда, когда
Используя неравенство (3) и учитывая возрастание функции у = 2t , получаем
(4).
Из неравенства (2) и (4) следует,
что
.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда
Ответ:
.
Пример № 5.
Решите уравнение
(1)
Решение:
Воспользуемся неравенством Коши
, справедливым для любых неотрицательных
чисел a и b.
Отметим, что равенство достигается
тогда и только тогда, когда a=b.
Имеем
Заметим, что равенство достигается
при
,
т. е. при х =
.
1+
для любых пар
значений переменных х и у, причём
равенство достигается тогда и только
тогда, когда
=0.
Получим, что наименьшее значение левой части уравнения (1) равно 8.
Далее
для любых пар
,
причём равенство достигается тогда
и только тогда, когда
Значит, уравнение (1) равносильно системе уравнений
Ответ:
.