3. Использование свойства чётности (нечётности).
Пусть уравнение f(x) =0 имеет конечное число корней. Если y=f(x) — чётная (нечётная) функция, то уравнение f(x)=0 имеет чётное число корней тогда и только тогда, когда f(0) 0; и имеет нечётное число корней тогда и только тогда, когда f(0)=0.
Пример № 1.
Может ли при каком-нибудь значении а уравнение 2х6 – х4 – ах2 = 1 иметь три корня?
Решение:
Данное уравнение есть уравнение вида f (x)=0, где f (x) = 2х6 – х4 – ах2 -1 . D (f) = R.
f( -x ) = 2( -x)6 – ( -x)4 – a( -x)2 – 1 = 2х6 – х4 – ах2 -1 = f (x).
Итак, функция f (x) – чётная функция при любом значении параметра а.
Находим:
f (0) = -1 .
Следовательно, данное уравнение может при любом значении параметра а иметь лишь чётное число корней.
Ответ: не может.
Пример № 2.
Докажите, что при любом значении параметра а уравнение
3х +3-х = ах4 + 2х2 + 2 имеет нечётное число корней.
Доказательство:
3х +3-х = ах4 + 2х2 + 2 3х +3-х - ах4 - 2х2 – 2 = 0.
Последнее уравнение есть уравнение вида f (x) = 0, где
f (x) = 3х +3-х - ах4 - 2х2 – 2 . D ( f ) = R.
f (-x) = 3-x + 3x – a (-x)4 – 2 (-x)2 – 2 = 3х +3-х - ах4 - 2х2 – 2 = f (x).
Итак, функция f (x) – чётная функция при любом значении параметра а.
Находим:
f (0) = 30 + 30 – 0 – 0 – 2=0.
Так как f(0) = 0, то исходное уравнение имеет нечётное число корней.
Пример № 3.
Найти все значения параметра а, при которых неравенство
cos 2x + имеет единственный корень.
Решение:
Перепишем исходное неравенство в виде
a + cos 2x -
где у= а +cos 2x, z = Теперь заметим, что функции являются чётными ( ), поэтому, если какое-то х = х0 является решением неравенства, то и х = -х0 также является его решением. Следовательно, единственным решением может быть только х = 0. Подставим х = 0 в исходное неравенство и найдём все возможные значения а, при которых оно верно ( при х=0):
у = а+1, z = ,
Проверим, при каких значениях а из найденных х = 0 является единственным решением.
( I) a = 3. Тогда исходное неравенство принимает вид
y = 3 + cos 2x
Учитывая, что последнее равенство возможно только при х=0.
(II) Тогда у = а + cos 2x и
последнее неравенство верно
Ответ: при а = 3.
4. Использование свойства выпуклости.
Теорема. Если на промежутке Х функция f строго выпукла вверх, а функция g строго выпукла вниз, то на этом промежутке Х уравнение f (x) = g (x) имеет
не более двух корней.
Уравнение f (x) = g(x) корней не имеет.
Уравнение f (x) = g(x) имеет один корень.
Уравнение f (x) = g(x) имеет два корня.
Пример № 1
Решите уравнение
Решение:
ОДЗ:
Данное уравнение есть уравнение вида f(x)=g(x), где f(x)= , g(x)= Заметим, что кривая f(x)= является вогнутой на R, а кривая g(x)= (парабола с ветвями, направленными вниз) является выпуклой на R. Следовательно, исходное уравнение имеет не более двух корней.
Заметим, что 1; -1 – корни уравнения.
Ответ: .
Пример № 2.
Решите уравнение: . (1)
Решение:
ОДЗ: .
Уравнение (1) есть уравнение вида f(x)=g(x), где f(x)=sin x, g(x)= .
Заметим, что уравнение (1) достаточно решить на отрезке , так как на множестве уравнение (1) корней не имеет. В самом деле:
при ;
при ;
при .
На промежутке кривая y=f(x) выпуклая, а кривая y=g(x) вогнутая.
Следовательно, на уравнение (1) имеет не более двух корней.
Заметим, что 0; - корни уравнения (1).
Ответ: .
Пример № 3.
Решите неравенство.
Решение:
ОДЗ : х .
Покажем, что 3х – х .
Рассмотрим функцию р(х) = 3х – х на .
Так как , то р(х) возрастает на .
Функция р(х) непрерывна на , р(х) возрастает на ,
р(0) = 30 – 0 =1 Следовательно , р(х) = 3х – х .
Получим, что неравенство ( равносильно неравенству
3х - 3
Для решения последнего неравенства воспользуемся методом интервалов.
Рассмотрим функцию f(x) = 3x - 3 .
Надо найти множество всех тех действительных значений аргумента х,
при которых f(x)
1) D(f) = .
Функция f(x) непрерывна на D( f).
2) Найдём нули функции f ( x ) :
3х - 3 = 0,
3х = 3 ).
Уравнение ( ) есть уравнение вида g(x) = t(x), где g(x) = 3x , t(x) = 3 .
Замечаем , что кривая g(x) = 3x является вогнутой на , а кривая
t( x) = 3 является выпуклой на . Значит, уравнение на
имеет не более двух корней. Заметим, что 1 и - корни уравнения .
Итак, 1 и - нули функции f.
3)
f(x)
Ответ :