3. Использование свойства чётности (нечётности).

Пусть уравнение f(x) =0 имеет конечное число корней. Если y=f(x) — чётная (нечётная) функция, то уравнение f(x)=0 имеет чётное число корней тогда и только тогда, когда f(0)  0; и имеет нечётное число корней тогда и только тогда, когда f(0)=0.

Пример № 1.

Может ли при каком-нибудь значении а уравнение 2х⁶ – х⁴ – ах² = 1 иметь три корня?

Решение:

Данное уравнение есть уравнение вида f (x)=0, где f (x) = 2х⁶ – х⁴ – ах² -1 . D (f) = R.

f( -x ) = 2( -x)⁶ – ( -x)⁴ – a( -x)² – 1 = 2х⁶ – х⁴ – ах² -1 = f (x).

Итак, функция f (x) – чётная функция при любом значении параметра а.

Находим:

f (0) = -1 .

Следовательно, данное уравнение может при любом значении параметра а иметь лишь чётное число корней.

Ответ: не может.

Пример № 2.

Докажите, что при любом значении параметра а уравнение

3^х +3^-х = ах⁴ + 2х² + 2 имеет нечётное число корней.

Доказательство:

3^х +3^-х = ах⁴ + 2х² + 2 3^х +3^-х - ах⁴ - 2х² – 2 = 0.

Последнее уравнение есть уравнение вида f (x) = 0, где

f (x) = 3^х +3^-х - ах⁴ - 2х² – 2 . D ( f ) = R.

f (-x) = 3^-x + 3^x – a (-x)⁴ – 2 (-x)² – 2 = 3^х +3^-х - ах⁴ - 2х² – 2 = f (x).

Итак, функция f (x) – чётная функция при любом значении параметра а.

Находим:

f (0) = 3⁰ + 3⁰ – 0 – 0 – 2=0.

Так как f(0) = 0, то исходное уравнение имеет нечётное число корней.

Пример № 3.

Найти все значения параметра а, при которых неравенство

cos 2x + имеет единственный корень.

Решение:

Перепишем исходное неравенство в виде

a + cos 2x -

где у= а +cos 2x, z = Теперь заметим, что функции являются чётными ( ), поэтому, если какое-то х = х₀ является решением неравенства, то и х = -х₀ также является его решением. Следовательно, единственным решением может быть только х = 0. Подставим х = 0 в исходное неравенство и найдём все возможные значения а, при которых оно верно ( при х=0):

у = а+1, z = ,

Проверим, при каких значениях а из найденных х = 0 является единственным решением.

( I) a = 3. Тогда исходное неравенство принимает вид

y = 3 + cos 2x

Учитывая, что последнее равенство возможно только при х=0.

(II) Тогда у = а + cos 2x и

последнее неравенство верно

Ответ: при а = 3.

4. Использование свойства выпуклости.

Теорема. Если на промежутке Х функция f строго выпукла вверх, а функция g строго выпукла вниз, то на этом промежутке Х уравнение f (x) = g (x) имеет

не более двух корней.

Уравнение f (x) = g(x) корней не имеет.

Уравнение f (x) = g(x) имеет один корень.

Уравнение f (x) = g(x) имеет два корня.

Пример № 1

Решите уравнение

Решение:

ОДЗ:

Данное уравнение есть уравнение вида f(x)=g(x), где f(x)= , g(x)= Заметим, что кривая f(x)= является вогнутой на R, а кривая g(x)= (парабола с ветвями, направленными вниз) является выпуклой на R. Следовательно, исходное уравнение имеет не более двух корней.

Заметим, что 1; -1 – корни уравнения.

Ответ: .

Пример № 2.

Решите уравнение: . (1)

Решение:

ОДЗ: .

Уравнение (1) есть уравнение вида f(x)=g(x), где f(x)=sin x, g(x)= .

Заметим, что уравнение (1) достаточно решить на отрезке , так как на множестве уравнение (1) корней не имеет. В самом деле:

при ;

при ;

при .

На промежутке кривая y=f(x) выпуклая, а кривая y=g(x) вогнутая.

Следовательно, на уравнение (1) имеет не более двух корней.

Заметим, что 0; - корни уравнения (1).

Ответ: .

Пример № 3.

Решите неравенство.

Решение:

ОДЗ : х .

Покажем, что 3^х – х .

Рассмотрим функцию р(х) = 3^х – х на .

Так как , то р(х) возрастает на .

Функция р(х) непрерывна на , р(х) возрастает на ,

р(0) = 3⁰ – 0 =1 Следовательно , р(х) = 3^х – х .

Получим, что неравенство ( равносильно неравенству

3^х - 3

Для решения последнего неравенства воспользуемся методом интервалов.

Рассмотрим функцию f(x) = 3^x - 3 .

Надо найти множество всех тех действительных значений аргумента х,

при которых f(x)

1) D(f) = .

Функция f(x) непрерывна на D( f).

2) Найдём нули функции f ( x ) :

3^х - 3 = 0,

3^х = 3 ).

Уравнение ( ) есть уравнение вида g(x) = t(x), где g(x) = 3^x , t(x) = 3 .

Замечаем , что кривая g(x) = 3^x является вогнутой на , а кривая

t( x) = 3 является выпуклой на . Значит, уравнение на

имеет не более двух корней. Заметим, что 1 и - корни уравнения .

Итак, 1 и - нули функции f.

3)

f(x)

Ответ :