Вопрос6.

Определение двойного интеграла.

Основные сведения из теории

Пусть в ограниченной замкнутой области D плоскости Оху задана непрерывная функция z=f(x,y) (не обязательно положительная). Разобьём область D на n частей D₁, D₂, … D_n с площадями и диаметрами d₁, d₂, … d_n. Выберем внутри каждой области D_i произвольную точку M_i(x_i,y_i) и составим сумму:

. (1)

Сумма (1) называется n-й интегральной суммой функции f(x,y), соответствующей данному разбиению области D и данному выбору точек М_i. Пусть .

Конечный предел, если он существует, n-й интегральной суммы (1), когда наибольший из диаметров частичных областей стремиться к нулю, называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D .

Обозначается: , (2)

D – область интегрирования.

Различают два основных вида области интегрирования.

1. Область интегрирования D ограничена слева и справа прямыми x=a и x=b (a<b), а снизу и сверху – непрерывными кривыми и , , каждая из которых пересекается вертикальной прямой только в одной точке

(рис 12.). Такая область называется правильной по х.

Для такой области интеграл вычисляется по формуле

(3)

причем сначала вычисляется внутренний интеграл

в котором x считается постоянным. Далее, полученную функцию от x интегрируем по промежутку от a до b.

2. Область интегрирования D – ограничена снизу и сверху прямыми y = c и y = d (c<d), а слева и справа - непрерывными кривыми , каждая из которых пересекается горизонтальной прямой только в одной точке (рис 13.). Такая область называется правильной по у.

В этом случае двойной интеграл вычисляется по формуле

(4)

причем сначала вычисляется внутренний интеграл, в котором у считается постоянным.

Правые части формул (3) и (4) называются двукратными интегралами.

Если область интегрирования правильная, двойной интеграл не зависит от порядка интегрирования.

Замечание 1. Двойной интеграл – число, поэтому пределы во внешнем интеграле всегда постоянны.

Замечание 2. Если область интегрирования – прямоугольник, со сторонами, параллельными осям координат, то пределы интегрирования постоянны как во внешнем, так и во внутреннем интеграле:

Замечание 3. Формула (3) получена для , исходя из геометрического смысла двойного интеграла. Оказывается, что она справедлива для любой непрерывной функции в области .