Вопрос6.
Определение двойного интеграла.
Основные сведения из теории
Пусть в ограниченной замкнутой области D плоскости Оху задана непрерывная функция z=f(x,y) (не обязательно положительная). Разобьём область D на n частей D1, D2, … Dn с площадями и диаметрами d1, d2, … dn. Выберем внутри каждой области Di произвольную точку Mi(xi,yi) и составим сумму:
. (1)
Сумма (1) называется n-й интегральной суммой функции f(x,y), соответствующей данному разбиению области D и данному выбору точек Мi. Пусть .
Конечный предел, если он существует, n-й интегральной суммы (1), когда наибольший из диаметров частичных областей стремиться к нулю, называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D .
Обозначается: , (2)
D – область интегрирования.
Различают два основных вида области интегрирования.
1. Область интегрирования D ограничена слева и справа прямыми x=a и x=b (a<b), а снизу и сверху – непрерывными кривыми и , , каждая из которых пересекается вертикальной прямой только в одной точке
(рис 12.). Такая область называется правильной по х.
Для такой области интеграл вычисляется по формуле
(3)
причем сначала вычисляется внутренний интеграл
,
в котором x считается постоянным. Далее, полученную функцию от x интегрируем по промежутку от a до b.
2. Область интегрирования D – ограничена снизу и сверху прямыми y = c и y = d (c<d), а слева и справа - непрерывными кривыми , каждая из которых пересекается горизонтальной прямой только в одной точке (рис 13.). Такая область называется правильной по у.
В этом случае двойной интеграл вычисляется по формуле
(4)
причем сначала вычисляется внутренний интеграл, в котором у считается постоянным.
Правые части формул (3) и (4) называются двукратными интегралами.
Если область интегрирования правильная, двойной интеграл не зависит от порядка интегрирования.
Замечание 1. Двойной интеграл – число, поэтому пределы во внешнем интеграле всегда постоянны.
Замечание 2. Если область интегрирования – прямоугольник, со сторонами, параллельными осям координат, то пределы интегрирования постоянны как во внешнем, так и во внутреннем интеграле:
Замечание 3. Формула (3) получена для , исходя из геометрического смысла двойного интеграла. Оказывается, что она справедлива для любой непрерывной функции в области .
Пример 1. Вычислить двойной интеграл , где D – прямоугольник:
Пример 2. Вычислить двойной интеграл:
где D – треугольник
Пример 3. Поменять порядок интегрирования:
, где D: x=1, x=2, y=x; y=2x.